Sur une variété riemannienne compacte M de courbure négative, le flot géodésique possède de nombreuses propriétés de mélange. En particulier, ce flot est ergodique, ce qui entraîne l’équirépartition de presque toute orbite. Un célèbre théorème de Schnirelman établit une version quantique (ou spectrale) de ce phénomène: presque toute fonction propre du laplacien s’équidistribue, dans un sens convenable, à la mesure uniforme sur M. On connaît ce théorème par le nom Ergodicité Quantique.

Dans une autre direction, on peut remplacer la variété M par une version discrète, tel qu’un graphe régulier fini. Comme le spectre de ce dernier est fini, on regardera la distribution des fonctions propres dans un intervalle spectral fixe lorsque le graphe varie dans une famille. Sous une certaine hypothèse qui joue le rôle de courbure négative (graphes expanseurs), Anantharaman et Le Masson ont démontré en 2013 l’ergodicité quantique pour les suites de graphes (q+1)-réguliers dont la géométrie tend asymptotiquement vers leur revêtement universel.

Ces deux contextes s’interprètent de façon uniforme, en prenant une suite d’espaces métriques compactes M_n qui converge, dans le sens de Benjamini—Schramm, vers un espace limite X. Le cadre qui nous intéresse dans cet exposé est celui où M_n=\Gamma_n\X est une suite d’espaces localement symétriques de type non-compact. Dans ce cas, sous une condition d’expansion, on s’attend à ce que M_n soit ergodique quantique. En rang 1, il s’agit d’un résultat récent d’Abert—Bergeron—Le Masson. Dans un travail en cours avec Jasmin Matz on démontre cette conjecture en rang supérieur, lorsque X est SL_n(R)/SO(n).

L’exposé se déroulera sur Zoom