L’obtention de quotients est une question naturelle mais relativement difficile en géométrie algébrique. À cette fin, la semistabilité est une notion essentielle dans la définition de tels objets. Soit k un corps et X une courbe définie au-dessus de k. Soit encore G un X-groupe réductif obtenu à partir d’un k-groupe réductif par changement de base. Une notion de semi-stabilité pour les G-torseurs peut s’obtenir de plusieurs manières différentes.

Dans cet exposé, nous commencerons par présenter les approches d’Atiyah–Bott et de Behrend à ce sujet, avant d’expliquer pourquoi la première approche, initialement valide seulement en caractéristique nulle, s’étend à certaines caractéristiques p > 0. Nous détaillerons ensuite un résultat, obtenu pendant ma thèse et qui montre que lorsque ces deux constructions coexistent (ce qui dépend d’hypothèses sur k) elles définissent la même notion. Nous reviendrons en particulier sur les problèmes spécifique de la caractéristique positive soulevés par la preuve de ce résultat. Ces derniers sont de nature géométrique et algébrique. En ce qui concerne ce deuxième aspect, je reviendrais en particulier sur l’énoncé d’un analogue, en caractéristique positive, d’un Théorème de Morozov obtenu pendant ma thèse. Ce dernier classifie, en caractéristique nulle les sous-algèbres de Lie paraboliques de l’algèbre de Lie d’une groupe réductif, à l’aide de leur nilradical.