Le but de l’exposé sera de présenter quelques travaux s’articulant autour de l’utilisation d’objets calculables pour l’étude des variétés algébriques (existence de points réels, discussion de la structure des solutions en fonction de paramètres, connexité, paramétrisation de solutions de systèmes algébriques zéro-dimensionnels, etc.)

Comme fil rouge, nous parlerons de recherche de structures CR-Sphériques pour une gamme de variétés de petites dimensions généralisant les travaux initiés par Thurston dans le cas hyperbolique. De façon très raccourcie, une variété triangulée de C^3 peut être décrite par un objet combinatoire (recollement de tétrahèdres) définissant naturellement une variété algébrique. Le groupe fondamental de cette variété triangulée peut alors être vue comme un sous-groupe de matrices dont les entrées dépendent directement de points sur cette variété. L’existence de points particuliers (réels, unipotents, etc.) conditionne alors l’existence de structures géométriques (hyperboliques ou CR-sphériques dans notre cas).

Il ne sera pas question de dérouler les aspects les plus théoriques ni d’entrer dans les détails les plus techniques des implantations utilisées : il s’agira plutôt de décrire quelques objets calculables et de montrer comment les composer agréablement pour répondre de manière exacte à quelques questions (existence de solutions réelles, irréductibilité de variétés, paramétrisation de solutions, etc.) permettant d’apporter une valeur ajoutée sur le problème posé.

Le point particulier de cette application est qu’il est totalement illusoire de prétendre répondre à quelque question que ce soit en utilisant le calcul formel comme « boite noire ». Les ensembles à étudier sont en effet pour la plupart des ensembles constructibles et non des variétés algébriques, les systèmes font intervenir plusieurs dizaines de variables (48 pour les derniers résolus), plusieurs paramètres et sont de haut degrés (dépassant la dizaine) … le O(d^n) lié à la borne de Bézout nous ramène instantanément à la réalité.