Ceci est un travail en commun avec Bas Janssens (Delft). Le but du travail est de calculer la cohomologie d’algèbres de Lie d’une algèbre de Lie-Rinehart. Les algèbres de Lie-Rinehart sont une version très algébrique des algèbres de Lie de champs de vecteurs. Il s’agit d’une k-algèbre associative commutative R et d’un R-module L qui est une k-algèbre de Lie tel que la non-R-linéarité du crochet soit gérée par un morphisme ancre de L vers Der(R). C’est une notion proche des algébroide de Lie. La cohomologie d’algèbres de Lie d’une algèbre de Lie-Rinehrat est donc une sorte de cohomologie de Gelfand-Fuchs algébrique.

Nous montrons que les 1-cocycles sont des opérateurs d’ordre au plus 5 (en adaptant une méthode de Serge Skryabin). Nous décrivons l’algèbre de Lie-Rinehart des jets d’une algèbre de Lie-Rinehart afin de transformer la cohomologie d’algèbres de Lie de L en la cohomologie R-linéaire des 1-jets J^1L. Ceci permet dans quelques cas de calculer cette cohomologie.