Résumé : Suivant l’intuition originale de Langlands à la fin des années 1970, il devrait exister une généralisation non abélienne de la théorie du corps de classes, connue aujourd’hui sous le nom de correspondances de Langlands. Celles-ci peuvent être à coefficients dans différents corps : le corps des nombres complexes \(\mathbb{C}\) (auquel cas l’on parle de correspondances classiques), celui des nombres \(p\)-adiques \(\mathbb{Q}_{p}\) pour \(p\) entier premier arbitraire (auquel cas l’on parle de correspondances  \(p\)-adiques) ou des corps finis de caractéristique positive \(p\) (auquel cas l’on parle de correspondances modulo \(p\) ou \(p\)-modulaires). Ce dernier cas est motivé par des questions arithmétiques profondes, mais est bien loin d’être compris, en particulier lorsque le groupe impliqué est défini sur un corps local de caractéristique résiduelle \(p\). Dans ce contexte, des phénomènes très étranges se produisent et sont loin d’être compris, même pour des groupes aussi élémentaires que \(\mathrm{GL}_{2}(F)\) ou \(\mathrm{SL}_{2}(F)\) avec \(F\) extension finie non triviale de \(\mathbb{Q}_{p}\), l’une des difficultés majeures résidant dans la compréhension des représentations lisses irréductibles de ces groupes.

Dans cet exposé, nous présenterons quelques résultats issus d’un travail en collaboration avec Julien Hauseux, où nous étudions la restriction à un sous-groupe parabolique minimal des représentations lisses irréductibles \(p\)-modulaires des groupes \(p\)-adiques de rang \(1\), i.e. de la forme \(\mathcal{G}(F)\) avec \(\mathcal{G}\) groupe réductif connexe défini sur \(F\) de \(F\)-rang semi-simple \(1\) et \(F\) corps local non archimédien de corps résiduel fini et de caractéristique résiduelle \(p\).