Résumé : Soit \(p\) un entier premier, \(F\) un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle \(p\), comme le corps des nombres \(p\)-adiques, et \(C\) un corps algébriquement clos. Dans la seconde moitié du XXè siècle, l’étude des algèbres de Hecke de groupes métaplectiques et de leurs représentations ont été étudiées dans le cadre de la correspondance de Shimura et des correspondances Theta. Lorsque \(C\) est le corps des nombres complexes, de nombreux résultats sont désormais connus pour \(\widetilde{\mathrm{SL}}_{2}(F)\), mais les choses sont bien plus mystérieuses lorsque \(C\) est de caractéristique positive \(\ell >0\). Lorsque \(\ell \not= p\) (cas  \(\ell\)-modulaire), il est possible de transférer une bonne partie des résultats complexes, mais tout s’effondre lorsque l’on suppose \(\ell = p\). Dans ce cas (dit \(p\)-modulaire), bien peu de choses sont connues concernant les algèbres de Hecke associées à \(\widetilde{\mathrm{SL}}_{2}(F)\), et essentiellement rien n’a été fait au sujet des correspondances sus-mentionnées.

Dans cet exposé, je présenterai un travail en commun avec Soma Purkait (Tokyo Institute of Technology) concernant le cas \(p\)-modulaire. Nous fournissons une description des algèbres d’Iwahori-Hecke\(p\)-modulaires associées au groupe métaplectique \(p\)-adique \(\widetilde{\mathrm{SL}}_{2}(F)\) et de leurs modules simples. Si le temps le permet, j’expliquerai comment nos résultats peuvent être comparés avec ce qui existe pour \(\mathrm{GL}_{2}(F)\) et \(\mathrm{SL}_{2}(F)\), ainsi qu’avec la théorie des représentations \(p\)-modulaires de \(\widetilde{\mathrm{SL}}_{2}(F)\) (au coeur d’un travail en cours avec Purkait), dans la perspective d’une correspondance de Langlands \(p\)-modulaire (conjecturale pour le moment) pour ce groupe.