Positroid varieties are subvarieties of the Grassmannian that appear in Postnikov’s approach to total positivity. For this reason and others, it was long expected that their coordinate rings should carry a cluster algebra structure, and this expectation was finally confirmed by Galashin and Lam in 2019. In fact, Galashin and Lam provide two cluster algebra structures (for the price of one!) and while they are abstractly isomorphic, they are not equal, in the sense that the cluster variables are different sets of functions on the positroid variety in each case. A conjecture by Muller and Speyer from 2016 asserts a precise relationship between these two cluster structures, namely that they should quasi-coincide. This would imply in particular that the two sets of cluster monomials are in fact equal.

In this talk, I will outline a proof of the conjecture in the generic case that the positroid is connected. Perhaps surprisingly, the proof uses categorification to translate the problem into homological algebra. Precisely, it uses the categorification of the cluster algebras by myself, that of perfect matchings and various other combinatorial ingredients from my joint work with Çanakçı and King, and that of quasi-cluster morphisms by Fraser, Keller and Yilin Wu.

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Les variétés de positroïde sont des sous-variétés de la grassmannienne qui apparaissent dans l’approche de Postnikov de la positivité totale. Pour cette raison et d’autres, on s’attendait depuis longtemps à ce que leurs anneaux de coordonnées portent une structure d’algèbre amassée, et cette attente a finalement été confirmée par Galashin et Lam en 2019. En fait, Galashin et Lam fournissent deux structures d’algèbre amassée (pour le prix d’une !) et bien qu’elles sont abstraitement isomorphes, elles ne sont pas égales, dans le sens où les variables amassées sont différents ensembles de fonctions sur la variété de positroïde dans chaque cas. Une conjecture de Muller et Speyer de 2016 affirme une relation précise entre ces deux structures amassées, à savoir qu’elles devraient quasi-coïncider. Cela impliquerait en particulier que les deux ensembles de monômes amassés sont en fait égaux.

Dans cet exposé, je présenterai (en anglais) une preuve de cette conjecture dans le cas générique où le positroïde est connecté. De façon peut-être surprenante, la preuve utilise la catégorification pour traduire le problème combinatoire en algèbre homologique. Plus précisément, elle utilise la catégorification des algèbres amassées par moi-même, celle des correspondances parfaites et divers autres ingrédients combinatoires de mon travail conjoint avec Çanakçı et King, et celle des morphismes quasi-amassés par Fraser, Keller et Yilin Wu.