(Exposé en ligne)

La grassmannienne totalement non négative est un objet important dans plusieurs sujets, y compris la théorie de la positivité totale de Lusztig, et le calcul d’amplitudes de diffusion via l’amplituèdre. Elle a une décomposition en cellules, décrite par Postnikov, dans laquelle chaque cellule est l’intersection de la grassmannienne totalement non négative avec une sous-variété de la pleine grassmannienne, qui s’appelle une variété de positroïde ouverte.

Un outil puissant en étudiant des espaces positifs est la théorie des algèbres amassées par Fomin et Zelevinsky. Un résultat récent de Galashin et Lam, qui confirme une attente de longue date, est que l’anneau des coordonnées homogènes d’une variété de positroïde ouverte a la structure d’une telle algèbre, en deux façons différentes, mais relatées. Muller et Speyer ont conjecturé une relation précise (la quasi-coïncidence) entre ces deux structures amassées, qui les rend équivalentes du point de vue de la positivité totale. Dans cet exposé, je vais expliquer comment prouver leur conjecture. Peut-être surprenant, la preuve dépend critiquement de la catégorification additive : en d’autres termes, de l’algèbre homologique dans des catégories exactes ou triangulées.