Résumé : Ces dix dernières années, plusieurs résultats de stabilisation dite « motivique » dans certains espaces de modules ont été démontrés, motivés notamment par leur ressemblance à des questions de comptages sur les corps finis en statistiques arithmétiques ainsi que par un principe de stabilisation homologique en topologie algébrique.

Dans cet exposé, on s’intéressera au cas de l’espace de modules des morphismes d’une courbe fixée (par exemple, la droite projective) dans une variété de Fano. Une approche fertile consiste à voir cette étude comme une variante du problème de comptage de points rationnels, suivant le programme initié par Manin et ses collaborateurs dans les années 90. En s’appuyant sur un certain nombre d’exemples (variétés toriques, compactifiés d’espaces vectoriels, fibrations…) et à l’aide de divers outils d’intégration motivique, on formulera des principes de stabilisation pour ces espaces de morphismes.