Résumé : La fonction zêta de Riemann, une fonction analytique complexe, interpole le valeurs zêta aux entiers positifs supérieurs ou égaux à 2 et grâce à son équation fonctionnelle on déduit les fameuses identités découvertes par Euler en 1735.

Dans les années 1980 David Goss introduit des fonctions zêta et L qui interpolent des valeurs zêta et L dans des corps complets de caractéristique non nulle, notamment les valeurs zêta introduites par Leonhard Carlitz en 1935. Ces travaux ont été influencés par la thèse de John Tate, dans laquelle il est cependant fondamental de regarder les fonctions zêta comme des fonctions à valeurs complexes.

Plus récemment des alternatives à l’approche de Goss ont émergé, où des fonctions zêta « partielles » sont définies directement sur des courbes algébriques sur les corps finis, et prennent leur valeurs dans des corps complets de caractéristique non nulle.

Dans la première partie de cet exposé, après avoir brièvement présenté l’approche de Goss, nous décrirons la mentionnée méthode d’interpolation analytique de valeurs zêta sur les courbes dans la cas particulier de la droite projective, en montrant quelques conséquences d’identités fonctionnelles qui ressemblent à celles de la fonction zêta de Riemann.

Dans la deuxième partie nous discuterons du cas plus général d’une courbe en décrivant un lien entre les lieux d’annulation de ces fonctions zêta avec un diviseur dit « chtouka » (Drinfeld) pour ensuite formuler une identité fonctionnelle démontrée par Giacomo Hermes Ferraro en 2022.