Étant donné un feuilletage holomorphe (singulier) F sur une variété complexe (projective) X, nous nous intéressons aux symétries birégulières (ou, plus généralement, birationnelles) de F, c’est-à-dire aux automorphismes (respectivement, aux transformations birationnelles) de X qui envoient chaque feuille de F sur une autre feuille de F. Plus précisément, nous cherchons des conditions pour que l’action du groupe des symétries soit « transversalement finie », c’est-à-dire un sous-groupe d’indice fini envoie chaque feuille sur elle-même. Il se trouve que ceci est le cas si F admet une structure transverse hyperbolique (éventuellement dégénérée), ce qui peut être vu comme une version feuilletée du fait que les courbes de genre supérieur ont groupe d’automorphisme fini ; dans le cas plus général d’une structure transverse projective, nous obtenons le même résultat avec des hypothèses techniques additionnelles.
Ceci est un travail en commun avec J.V. Pereira, E. Rousseau et F. Touzet.