L’écriture des nombres réels dans une base entière est source de nombreuses questions, tant élémentaires dans leurs formulations que difficiles dans leurs résolutions. Est-il vrai que tous les chiffres apparaissent infiniment souvent dans l’écriture décimale de \(\pi\), de \(e\), de \(\sqrt{2}\) ? Est-ce qu’il existe des nombres réels qui s’écrivent en base 10 et en base 3 sans utiliser le chiffre 1 ? Est-il vrai que n’importe quel bloc de chiffres apparaît dans l’écriture en base 10 d’une puissance de 2 ? Ces questions sont ouvertes et sont à l’origine de diverses thématiques de recherche selon que l’on adopte un point de vue probabiliste, dynamique ou informatique.

Dans cet exposé, nous nous concentrerons sur l’approche informatique. Nous nous intéresserons à l’ensemble des nombres dont le développement peut être produit par un automate fini, une classe de machines de Turing particulièrement simples. Dans la première partie de l’exposé nous montrerons que ces questions se ramènent à des problèmes de transcendance ou d’indépendance algébrique de valeurs de certaines fonctions, appelées fonctions mahlériennes. Ces fonctions, solutions d’une équation linéaire aux différences pour l’opérateur \(z\to z^q\), \(q \geq 2\), ont été introduites par Mahler à la fin des années 1920 et connaissent un regain d’intérêt, depuis une dizaine d’année. Dans la seconde partie, nous présenterons des résultats d’indépendance algébrique concernant les valeurs de fonctions mahlériennes obtenus récemment. Nous mettrons ces résultats en perspective avec d’autres résultats, plus connus, concernant les valeurs de E-fonctions de Siegel et généralisant le théorème de Lindemann-Weierstrass.