Un élément d’une algèbre A (sur un corps) est dit quadratique lorsqu’il admet un polynôme annulateur de degré 2.

Lorsque \(A\) est l’algèbre des endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie, et \(p\) et \(q\) sont deux polynômes de degré \(2\) fixés, on dispose depuis peu d’une classification complète des éléments de \(A\) qui se décomposent sous la forme \(x + y\), où \(x, y\) sont dans \(A\) et vérifient \(p(x) = q(y) = 0\), et de ceux du groupe des inversibles de \(A\) qui se décomposent sous la forme \(xy\), où \(x, y\) sont dans \(A\) et vérifient \(p(x) = q(y) = 0\).

Nous présentons ici un problème plus ardu, que nous appelons problème ≪ double-quadratique ≫ , où le cadre est celui d’une algèbre \(A\) munie d’une involution \(*\) appelée adjonction. Dans le problème double-quadratique pour les sommes, on étudie les éléments auto-adjoints (respectivement, anti-autoadjoints) de \(A\) qui admettent une décomposition \(x + y\) où \(x\) et \(y\) sont autoadjoints (respectivement, antiautoadjoints) et annulés respectivement par \(p\) et \(q\). Dans le problème double-quadratique pour les produits, on étudie les éléments unitaires (i.e. vérifiant \(xx^* = 1_A\) ) qui sont le produit de deux éléments unitaires annulés respectivement par \(p\) et \(q\).

Nous présenterons des avancées récentes sur le problème double-quadratique dans le cadre de l’algèbre des endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie pour l’adjonction associée à une forme bilinéaire symétrique ou alternée non dégénérée. Ce sera aussi l’occasion de rappeler les invariants fondamentaux pour les endomorphismes autoadjoints/antiautoadjoints/unitaires associés à une telle forme.