Résumé : Les contre-exemples de Mukai au 14ᵉ problème de Hilbert reposent sur une observation clé, due à Nagata : les anneaux d’invariants pour certains groupes vectoriels peuvent être identifiés aux anneaux de Cox de certains éclatements d’espaces projectifs. L’anneau de Cox d’une variété encode une grande quantité d’informations sur la géométrie birationnelle de cette variété, et on peut utiliser de la géométrie pour répondre à des questions concernant la finitude de la génération des anneaux d’invariants de Nagata.

Je discuterai ces questions et expliquerai quel type de problèmes sont abordés en géométrie birationnelle, ainsi que la manière dont on peut les traiter dans le cas des variétés algébriques qui sont des espaces de modules.