Résumé : Les modules fidèles et équilibrés apparaissent à de nombreuses reprises dans la théorie des anneaux, comme dans la dualité de Schur-Weyl, la notion d’algèbre QF-1 de Thrall. Ils sont aussi a cœur de nombreuses endo-correspondances, comme la correspondance d’Auslander.

Pour les algèbres de Nakayama, les modules fidèles et équilibrés ont été classifiés en 2021 par Crawley-Boevey, Ma, Rognerud et Sauter. Cette classification fait intervenir de la combinatoire de remplissage de tableaux selon des règles assez simple. Lorsque l’on considère une algèbre de chemins sur un carquois de type A avec une orientation linéaire, la combinatoire est très similaire à celle des tableaux de permutations (ou des tree-like tableaux) qui sont des objets qui apparaissent dans d’autres domaines des mathématiques.

Toujours pour les algèbres de Nakayama, nous allons introduire un ordre partiel sur les modules fidèles et équilibrés. Nous verrons que cet ordre partiel étend de façon naturelle l’ordre de Tamari sur les modules basculants. Cela permet de voir les modules fidèles et équilibrés comme des obstructions à la mutation habituelle des modules basculants, d’où le nom de treillis de Tamari ralenti. Nous verrons que cet ordre partiel se comporte comme une version à trois couleurs du treillis de Tamari et qu’il en possède toutes les propriétés (sauf une!).

C’est un travail en commun avec Sylvie Corteel et Jihyeug Jang.