Soit \(\mathbb{K}\) un corps et \(P\) et \(Q\) deux polynômes de degré \(2\) à coefficients dans \(\mathbb{K}\). L’algèbre de Hamilton libre associée au couple \((P,Q)\) est la \(\mathbb{K}\)-algèbre associative en deux générateurs \(a\) et \(b\) soumis aux seules relations \(P(a)=Q(b)=0\). Il s’agit d’un modèle pour le produit libre (ou coproduit) de deux \(\mathbb{K}\)-algèbres de dimension \(2\), cas régulièrement repéré comme particulièrement singulier dans la théorie des produits libres d’algèbres mais qui n’avait jamais fait l’objet d’une étude systématique profonde auparavant.

Grâce à un nouveau point de vue, nous allons exposer des avancées définitives sur la compréhension de la structure interne de l’algèbre de Hamilton libre, notamment la structure du groupe de ses éléments inversibles et de son groupe d’automorphismes.