Vahagn Nersesyan soutient son HDR intitulée « Quelques problèmes mathématiques en hydrodynamique et physique quantique »
le vendredi 4 décembre 2015 à 14h à l’amphi G du bâtiment Fermat.
Résumé : Ce mémoire est composé de deux chapitres relativement indépendants.
Le chapitre 1 est consacré à l’étude de quelques problèmes mathématiques issus de la théorie de la turbulence en hydrodynamique. Nos résultats portent principalement sur des questions liées au principe de grandes déviations (PGD), relation de Gallavotti–Cohen et ergodicité (existence et unicité d’une mesure stationnaire et ses propriétés de mélange) pour une classe d’EDP perturbées par une force aléatoire. Nous établissons un PGD pour des EDP paraboliques, comme les équations de Navier–Stokes ou de Ginzburg–Landau complexe, perturbées par une force aléatoire discrète en temps. Nous étendons ce résultat au cas de l’équation d’onde non linéaire amortie soumise à une force aléatoire de type bruit blanc en temps et lisse par rapport à la variable spatiale, en prouvant un PGD local. Nous obtenons une relation de type Gallavotti–Cohen pour la fonction de taux d’une fonctionnelle de production d’entropie pour des EDP avec une dissipation non linéaire forte, comme l’équation de Burgers. Enfin, nous prouvons une propriété de mélange pour l’équation complexe de Ginzburg–Landau avec un bruit blanc dans un espace de dimension quelconque.
Dans le chapitre 2, nous considérons d’abord le problème de la contrôlabilité d’une particule quantique par l’amplitude d’un champ électrique. L’état de la particule est décrit par une fonction d’onde qui obéit à l’équation de Schrödinger bilinéaire. En utilisant des méthodes variationnelles, nous obtenons des résultats de contrôlabilité approchée, stabilisation et contrôlabilité simultanée. La deuxième partie de ce chapitre aborde le problème de la contrôlabilité lagrangienne de l’équation de Navier–Stokes 3D par une force de dimension finie. Nous donnons des exemples d’espaces qui assurent la contrôlabilité approchée du système.