Séminaires PS 2016-2017

Mardi 20 septembre 2016 11:30–12:30 – Bertrand Cloez – INRA Montpellier

Comportement en temps long de processus de Markov avec branchement ou absorption

Résumé : Après avoir rappelé rapidement quelques manières de montrer la convergence exponentielle d’un processus de Markov (classique) vers sa mesure invariante, nous décrirons comment montrer des comportements analogues pour des processus branchants (ou avec un état absorbant). Ces derniers sont des processus à valeurs mesures (qui décrivent par exemple une population avec des naissances et des morts) dont la moyenne satisfait une équation au dérivés partielles linéaire. Pour passer des processus branchants aux processus classiques, on introduira des formules appelées formule many-to-one, fragments marqué, décomposition en épine dorsal ou encore h-transformé (de Doob) qui permettent de ramener l’étude d’une population à celle d’un individu avec un comportement biaisé.

Lieu : Bâtiment Fermat, en salle 2102

Mardi 27 septembre 2016 11:30–12:30 – Gilles Pagès – Université Pierre et Marie Curie

Modèles d’urnes randomisées non linéaires : une approche par algorithmes stochastiques

Résumé : Dans ce travail, nous étendons le lien entre l’approximation stochastique et les modèles d’urnes randomisés développés dans [Laruelle-Pagès, AAP, 2013] et ses applications à des essais cliniques introduits dans une série de papiers par Bai et ses co-auteurs. L’idée ici est que la règle de tirage n’est plus uniforme parmi les boules (de d couleurs possibles) de l’urne, mais peut être renforcée par une fonction $f$ modélisant en quelque sorte l’aversion au risque. Tout d’abord, en considérant que $f$ est concave ou convexe et en reformulant la dynamique de la composition de l’urne comme un algorithme stochastique avec reste, nous établissons la convergence et la normalité asymptotique (théorème central limite, CLT) de la procédure normalisée en faisant appel aux méthodes dites de l’ODE et de l’EDS. Une analyse plus approfondie du cas bi-color ($d = 2$) et lorsque $f$ est convexe montre la présence d’une forme de transition de phase. Cela conduit notamment à étudier la (non-) convergence vers des zéros répulsifs bruités ou non du système champ moyen sous-jacent (les « pièges » en théorie de l’approximation stochastique). Enfin, ces résultats sont appliqués à une allocation d’actifs optimale en Finance par principe de renforcement.

Lieu : Bâtiment Fermat, en salle 2102

Mardi 11 octobre 2016 11:30–12:30 – Benjamin Groux – LMV

Comportement en temps long dans l’équation de Fokker-Planck libre avec un potentiel non convexe.

Résumé : On considère l’équation de Fokker-Planck libre $\frac{\partial \mu_t}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} \left[ \mu_t \left( \frac12 V’ – H\mu_t \right) \right]$, o\`u $H$ désigne la transformée de Hilbert et $V$ un potentiel confinant. Dans le cas où ce potentiel est convexe, il est connu que cette EDP avec singularité admet une unique solution $(\mu_t)$ convergeant quand $t \to \infty$ vers la mesure d’équilibre associée au potentiel $V$. On s’intéresse ici au comportement asymptotique de la solution dans le cas d’un potentiel non convexe, plus précisément $V(x) = \frac14 x^4 + \frac{c}{2} x^2$ avec $c<0$. Le résultat obtenu fait notamment intervenir des techniques de probabilités libres.

Ce travail a étée effectué en collaboration avec Catherine Donati-Martin et Mylène Maïda.

Lieu : bâtiment Fermat, en salle 2102

Mardi 8 novembre 2016 11:30–12:30 – Marion Sciauveau – CERMICS, Ponts et Chaussées

Fonctionnelles de coût sur des arbres aléatoires

Résumé : Les arbres apparaissent naturellement dans de nombreux domaines tels que l’ informatique pour le stockage de données ou encore la biologie pour classer des espèces dans des arbres phylogénétiques. Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux limites de fonctionnelles additives de grands arbres aléatoires. Nous étudierons les cas des arbres binaires sous le modèle de Catalan (arbres aléatoires choisis uniformément parmi les arbres binaires enracinés complets ordonnés avec un nombre de nœud donné) et les arbres simplement générés. On obtiendra un principe d’invariance pour ces fonctionnelles ainsi que les fluctuations associées. Dans le cas binaire, la preuve repose sur le lien entre les arbres binaires et l’excursion brownienne normalisée (voir Aldous [1]). Cela nous permettra de retrouver les résultats avancés par Fill et Kapur [2] et Fill et Janson [3].
Références : [1] : D. Aldous. The continuum random tree. III. (1993) [2] : J.A. Fill and N.Kapur. Limiting distributions for additive functionals on Catalan trees (2004) [3] : J.A. Fill and S. Janson. Precise logarithmics for the right tails of some limit random variables for random trees (2009)

Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102

Mardi 22 novembre 2016 11:30–12:30 – Elodie Vernet – Université Paris Sud – Paris Saclay

Comportement asymptotique de la loi a posteriori dans les modèles non paramétriques de Markov cachés

Résumé : Une chaîne de Markov cachée est un processus stochastique discret $(X_t,Y_t)$ où la suite $(X_t)$ est une chaîne de Markov que l’on n’observe pas, et la suite $(Y_t)$ est une version bruitée de $(X_t)$ que l’on observe. Plus précisément, sachant les états cachés $X_t$, les observations $Y_t$ sont indépendantes avec $Y_t$ ne dépendant que de $X_t$. Les modèles de Markov cachés (HMMs) sont très utilisés en pratique, comme en génomique, reconnaissance de parole, économétrie… Un intérêt récent pour les modèles de Markov cachés non paramétriques est apparu dans les applications car la modélisation paramétrique des lois d’émission (c’est-à-dire les lois de $Y_t$ sachant $X_t=1,2,\ldots$) peut conduire à de mauvaises estimations. Or les modèles de Markov cachés non paramétriques ont peu été étudiés en théorie. Lors de cet exposé, je m’intéresserai à ces modèles dans le cas où l’ensemble des états cachés sera de cardinal fini et connu. Les lois d’émission ne seront pas contraintes d’appartenir à un espace de dimension finie. Je m’attacherai à présenter des garanties théoriques sur le comportement de la loi a posteriori dans ces modèles. En particulier, je présenterai des résultats asymptotiques sur ce comportement. Je donnerai des hypothèses garantissant la consistance de la loi a posteriori ainsi que l’obtention de vitesses de concentration. J’exhiberai également des lois a priori vérifiant ces dernières hypothèses.

Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102

Mardi 29 novembre 2016 11:30–12:30 – Eva Löcherbach – Université de Cergy-Pontoise

Estimation du graphe d’interactions pour des systèmes de neurones en interactions.

Résumé : Nous considérons des réseaux de neurones dont l’évolution est décrite par des systèmes de chaînes de mémoire variable en interactions. Chaque chaîne décrit l’activité d’un seule neurone (à savoir, la présence ou absence d’une décharge électrique/spike à un temps donné). La probabilité qu’un neurone ait une décharge dépend de l’évolution de ses neurones pré-synaptiques depuis son dernier temps de spike. Lors d’une décharge, le potentiel de membrane du neurone retombe à une valeur d’équilibre (= 0). En même temps, tous les neurones post-synaptiques reçoivent une charge additionnelle qui est rajoutée à leur potentiel de membrane. La relation entre un neurone et ses neurones pré- et post- synaptiques définit un graphe orienté que nous appelons « graphe d’interactions » du modèle. Nous construisons un estimateur de ce graphe et prouvons la consistence de cet estimateur lorsque le temps d’observation ainsi que la taille de la fenêtre d’observation tendent vers l’infini. Travail en collaboration avec Aline Duarte, Antonio Galves et Guilherme Ost.
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Estimating the interaction graph of stochastic neural dynamics We address the question of statistical model selection for a class of stochastic models of biological neural nets. Models in this class are systems of interacting chains with memory of variable length. Each chain describes the activity of a neuron, indicating whether it has a spike or not at a given time. For each neuron, the probability of having a spike depends on the entire time evolution of its \it presynaptic neurons since the last spike time of the neuron. When the neuron spikes, its potential is reset to a resting level, and all of its postsynaptic neurons receive an additional amount of potential. The relationship between a neuron and its pre- and postsynaptic neurons defines an oriented graph, the interaction graph of the model. We show how to estimate this graph of interactions, based on an observation of the process up to time $n, $ within a growing sequence of observation windows. We prove the consistency of this estimator and obtain explicit error bounds for the probability of wrong estimation of the graph of interactions. Joint work with Aline Duarte, Antonio Galves and Guilherme Ost.

Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102

Mardi 6 décembre 2016 11:30–12:30 – Fanny Augeri – Institut Mathématique de Toulouse

Grandes déviations des traces de matrices aléatoires.

Résumé : L’étude des traces de matrices aléatoires est maintenant un outil classique pour comprendre le comportement asymptotique du spectre. Depuis la preuve originale du théorème de Wigner par la méthode des moments, jusqu’aux résultats d’universalité au bord du spectre de matrices de Wigner ou de covariance empirique, la « méthode des traces » s’est révélée très efficace dans l’étude macroscopique aussi bien que microscopique du spectre de matrices aléatoires.

En partant du théorème de Wigner, qui donne la convergence des traces normalisées vers les nombres de Catalan, on s’intéressera au grandes déviations des traces autour de leurs limites respectives. Comme l’application qui à une mesure de probabilité associe sont p ème moment n’est pas continue pour la topologie faible, il n’est pas possible de contracter les principes de grandes déviations connus pour la mesure spectrale, comme dans le cas des ensembles Gaussiens classiques (Ben-Arous – Guionnet, 1997), ou des matrices de Wigner sans queues Gaussiennes (Bordenave-Caputo, 2014). Le problème des grandes déviations des traces implique de chercher d’autres stratégies que l’on exposera dans le cas de trois modèles : celui des matrices de Wigner à entrées Gaussiennes, celui des beta-ensembles à potentiel convexe et croissance polynomiale et le cas des matrices de Wigner sans queues Gaussiennes.

Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102

Mardi 3 janvier 2017 11:30–12:30 – Alexis Devulder – LMV, UVSQ

Collisions de plusieurs marches aléatoires récurrentes dans des milieux aléatoires

Résumé : Nous considérons $d$ marches aléatoires indépendantes sur $Z$, $m$ d’entre elles étant des marches aléatoires simples symétriques, et les $r= d-m$ autres étant des marches de Sinai, dans $I$ environnements indépendants. Nous montrons que le produit est récurrent, presque sûrement, si et seulement si $m\leq 1$ ou $m=d=2$.
Dans le cas transient avec $r\geq 1$, nous prouvons que les marches se rencontrent simultanément infiniment souvent (c’est à dire font une « collision »), presque sûrement, si et seulement si $m=2$ et $r \geq I= 1$. En particulier, alors que $I$ n’a pas d’influence pour la récurrence ou la transience, $I$ joue un rôle pour la probabilité d’avoir une infinité de collisions.

Il s’agit d’un travail en commun avec Nina Gantert et Françoise Pène.

Lieu : Batiment Fermat, salle 2102

Mardi 10 janvier 2017 11:30–12:30 – Florent Malrieu – Université de Tours (LMPT)

Comportement en temps long de processus de Markov déterministes par morceaux

Résumé : Les processus de Markov déterministes par morceaux (PDMPs) sont des processus aléatoires qui, entre deux sauts (aléatoires), évoluent de façon déterministe. Nous illustrerons quelques propriétés parfois surprenantes de ces processus sur un exemple issu de la modélisation de dynamique des populations, et présenterons quelques techniques permettant l’étude de leur comportement en temps long.

Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102

Mardi 17 janvier 2017 11:30–12:30 – Nicolas Champagnat – Institut Henry Cartan – Univ. de Lorraine

Convergence exponentielle vers la distribution quasi-stationnaire de processus de Markov absorbés

Résumé : On considère un processus de Markov général, absorbé presque sûrement en temps fini. Un exemple d’application typique concerne les dynamiques de populations, absorbées lorsqu’une ou plusieurs (sous-)populations s’éteint(s’éteignent). Le but de l’exposé est de présenter des critères garantissant la convergence exponentielle des tailles de population conditionnellement à la non-absorption, uniforme par rapport à la condition initiale. Ce dernier point est important en pratique car la distribution initiale de la population n’est en général pas connue précisément. On démontre que cette convergence uniforme est équivalente à deux conditions, la première exprimant que le processus descend rapidement de l’infini et s’éloigne des zones avec fort taux d’absorption lorsqu’il n’est pas absorbé, et la seconde que le processus ne peut pas survivre beaucoup mieux que lorsqu’il est issu d’un ensemble compact. On donnera ensuite des critères explicites impliquant ces conditions dans le cas des processus de naissance et mort et des diffusions, en dimension 1 et plus.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Denis Villemonais (IECL, Univ. Lorraine).

Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102

Mardi 24 janvier 2017 11:30–12:30 – Laurent Tournier – LAGA – Institut Galilée (Paris 13)

Marches aléatoires activées avec biais

Résumé : Le modèle de marches aléatoires activées est un système de particules se déplaçant indépendamment sur  $Z^d$ à ceci près qu’une particule isolée en un site peut devenir “inactive” et reste alors fixe jusqu’à la visite d’une autre particule. La compétition entre désactivation locale et propagation de l’activité par diffusion donne lieu à une transition de phase selon la densité initiale de particules : à faible densité, les configurations locales finissent par se stabiliser, tandis qu’à haute densité l’activité se poursuit indéfiniment. Dans cet exposé, on présentera les principaux aspects du modèle et on s’intéressera plus spécifiquement au cas où le déplacement des particules présente un biais.

Travail en collaboration avec Leonardo Rolla.

Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102

Mardi 31 janvier 2017 11:30–12:30 – Julian Tugaut – Télécom Saint Etienne

Temps de sortie d’une diffusion auto-stabilisante

Résumé : Dans cet exposé, on présentera rapidement quelques résultats de la théorie de Freidlin et Wentzell puis on donnera une loi de type Kramers satisfaite par la diffusion de McKean-Vlasov lorsque le potentiel de confinement est uniformément strictement convexe. On présentera brièvement deux preuves précédentes de ce résultat avant de donner une troisième preuve plus simple, plus intuitive et moins technique.

Lieu : Batiment Fermat, salle 2102

Mardi 21 février 2017 11:30–12:30 – Julien Brémont – Université Paris-Est Créteil

Marche aléatoire en milieu stratifié

Résumé : On s’intéresse au comportement qualitatif d’une marche aléatoire sur Z^2 en milieu stratifié. Un critère de récurrence est présenté ainsi que divers exemples, notamment en milieu aléatoire. En fonction du temps restant, des généralisations seront exposées.

Lieu : bâtiment Fermat, salle 2102

Mardi 7 mars 2017 11:30–12:30 – Alexandre Janon – Université Paris-Sud

Sensitivity analysis and dimension reduction

Résumé : Mathematical models seldom represent perfectly the reality of studied systems, due to, for instance, uncertainties on the parameters that define the system. For instance, in geophysical fluids modelling, these parameters can be, e.g., the domain geometry, the initial state, the wind stress, the friction or viscosity coefficients.
Sensitivity analysis aims at measuring the impact of each input parameter uncertainty on the model solution and, more specifically, to identify the « sensitive’’ parameters (or groups of parameters). Amongst the sensitivity analysis methods, we will focus on the Sobol indices method.
The numerical computation of these indices require numerical solutions of the model for a large number of parameters’ instances. However, many models (such as typical geophysical fluid models) require a large amount of computational time just to perform one run. In these cases, it is impossible (or at least not practical) to perform the number of runs required to estimate Sobol indices with the required precision.
This leads to the replacement of the initial model by a metamodel (also called response surface or surrogate model), which is a model that approximates the original model, while having a significantly smaller time per run, compared to the original model.
We will focus on the use of metamodel to compute Sobol indices. More specifically, our main topic is the quantification of the metamodeling impact, in terms of Sobol indices estimation error. We also consider a method of metamodeling which leads to an efficient and rigorous metamodel.

Lieu : bâtiment Fermat, salle 2102

Mardi 14 mars 2017 11:30–12:30 – Jérôme Dedecker – Université Paris V

Déviations larges et modérées pour des fonctions bornées de chaines de Markov ayant un taux de mélange polynomial

Résumé : On considère des chaines de Markov ayant un taux de mélange polynomial, le mélange étant ici mesuré sur une classe d’observables bornées. On établit des bornes de déviations larges et modérées pour les somme partielle des observables de cette chaine. On donne aussi des bornes inférieures qui montrent que les résultats sont optimaux.

Travail joint avec S. Gouëzel et F. Merlevède

Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102

Mardi 25 avril 2017 11:30–12:30 – Angélina Roche – Université Paris-Dauphine

Estimation adaptative de la fonction de risque instantanée dans le modèle de censure multiplicative

Résumé : Le modèle de censure multiplicative a été proposé par Vardi (1989). Dans ce modèle, la variable d’intérêt $X$ est reliée à la variable observée par la relation $Y=XU$, avec $U$ une variable uniforme sur $[0,1]$, indépendante de $X$. Nous proposons une famille d’estimateurs de la fonction de risque instantanée de la variable X construite par minimisation d’un contraste adapté au problème, à partir d’un échantillon ${Y_1,…,Y_n}$ de copies de Y. La dimension de l’espace d’approximation est ensuite sélectionnée par minimisation d’un critère de type contraste pénalisé. Nous montrons que l’estimateur obtenu vérifie une inégalité de type oracle, à un terme additionnel près, que nous discuterons.

En collaboration avec Gaëlle Chagny et Fabienne Comte.

Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102

Mardi 30 mai 2017 11:30–12:30 – Yohan de Castro – Université Paris-Sud

Comment tester la moyenne d’un processus gaussien

Résumé : Les problèmes de dé-convolution d’un signal déterministe perturbé par un bruit stochastique peuvent se modéliser par l’étude statistique de la moyenne d’un processus gaussien. Dans cet exposé, nous présenterons des travaux à paraître sur cette problématique. Le point de vue sera le calcul exact de la loi jointe des maximas de deux processus gaussiens

Lieu : bâtiment Fermat, salle 2102

Mardi 6 juin 2017 11:30–12:30 – Frédéric Proïa – Université d’Angers

Sur la statistique de Bickel-Rosenblatt dans un cadre autorégressif

Résumé : Lorsque l’on souhaite estimer la densité commune d’une suite aléatoire indépendante et identiquement distribuée, on utilise généralement l’estimateur non paramétrique de Parzen-Rosenblatt. Cette estimation étant ponctuelle, effectuer un test d’adéquation avec une densité revient à produire une mesure de l’erreur commise sur la droite réelle. A cet égard, Bickel et Rosenblatt ont démontré la normalité asymptotique de l’erreur quadratique intégrée, correctement renormalisée. On s’intéresse dans cette étude au comportement asymptotique de cette statistique, lorsqu’elle est construite à partir des résidus d’un processus autorégressif, l’objectif étant de proposer un test d’adéquation pour la densité du bruit du modèle. On montre que le résultat de Bickel-Rosenblatt pour un bruit i.i.d. reste inchangé lorsque les résidus sont issus de processus stables et explosifs. Dans le cadre instable unidimensionnel, notre étude permet également d’établir la vitesse de convergence ainsi que le comportement limite potentiellement non gaussien de la statistique.

Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102

Mardi 13 juin 2017 11:30–12:30 – Emmanuel Gobet – Ecole Polytechnique

Stratified regression Monte-Carlo scheme for semilinear PDEs and BSDEs with large scale parallelization on GPUs

Résumé : We design a novel algorithm based on Least-Squares Monte Carlo (LSMC) in order to approximate the solution of discrete time Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs) (related to parabolic semi linear PDEs). Our algorithm allows massive parallelization of the computations on multicore devices such as graphics processing units (GPUs). Our approach consists of a novel method of stratification which appears to be crucial for large scale.

Joint work with J. Lopez (La Coruna Univ.), P. Turkedjiev (Ecole Polytechnique), C. Vasquez (La Coruna Univ.)

Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102