Séminaires PS 2015-2016

Mardi 6 octobre 2015 11:30–12:30 – Oleksiy Khorunzhiy – UVSQ

Sur la fonction zêta d’Ihara des graphes aléatoires de grande taille

Résumé : La fonction zêta d’Ihara d’un graphe fini G peut être déterminée comme une exponentielle de la fonction génératrice des trajectoires géodésiques sur l’ensemble des arêtes de G. La formule remarquable d’Ihara représente cette fonction sous la forme d’un déterminant de l’analogue discret de l’opérateur de Laplace défini sur G.
Cet opérateur s’exprime en fonction de la matrice d’adjacence de G.
En utilisant les méthodes élémentaires de la théorie spectrale des matrices aléatoires, nous calculons la limite de la fonction d’Ihara « normalisée » des graphes aléatoires de Erdös-Rényi lorsque la taille des graphes tend vers l’infini.

Lieu : bâtiment Fermat, en salle 2102

Mardi 13 octobre 2015 11:30–12:30 – Benjamin Groux – UVSQ

Grandes déviations de la mesure spectrale de matrices de covariance à queues non gaussiennes.

Résumé : On considère des matrices de covariance $XX^*$ où $X$ est une matrice rectangulaire dont les coefficients sont i.i.d. et ont une queue de probabilité en $e^{-at^{\alpha}}$, avec $a>0$ et $\alpha \in ]0,2[$. On peut établir un principe de grandes déviations pour la mesure spectrale de telles matrices dont les dimensions tendent vers l’infini. Pour cela, on a besoin de montrer un résultat de liberté asymptotique pour la convolution libre rectangulaire. Ces résultats étendent ceux de Bordenave et Caputo (2012) obtenus pour des matrices de Wigner.

Lieu : bâtiment Fermat, en salle 2102

Mardi 20 octobre 2015 11:30–12:30 – Catherine Donati-Martin – UVSQ

Grandes déviations pour la mesure empirique vue de la valeur propre maximale

Lieu : bâtiment Fermat, en salle 2102

Mardi 10 novembre 2015 11:30–12:30 – Basile de Loynes – Université de Strasbourg

Marches aléatoires persistantes : récurrence vs transience

Résumé : Dans cet exposé, on présentera un modèle de marche aléatoire à longue mémoire en dimension 1. Étant donnée une suite de variables aléatoires $\{X_k\}_{k \geq 1}$ à valeurs dans $\{-1,1\}$, on s’intéresse au comportement en temps long du processus $\{S_n\}_{n \geq 0}$ défini par
$\begin{displaymath}
S_0:=0 \quad \textrm{ et } \quad S_n:=\sum_{k=1}^n X_k \quad n \geq 1.
\end{displaymath}$
Lorsque les accroissements $X_k$ sont supposés i.i.d., il s’agit de la marche aléatoire classique dont le comportement est bien connu. Dans le modèle étudié, les lois de sauts dépendent partiellement du passé de la trajectoire. Plus précisément, la probabilité de monter ou de descente dépend du temps passé (appelé temps de persistance) dans la direction dans laquelle le marcheur est train d’évoluer. Mathématiquement, cette mémoire est modélisée à l’aide d’une chaîne de Markov à longueur variable (VLMC pour Variable Length Markov Chain).
Après avoir décrit le modèle, un critère de récurrence/transience s’exprimant en fonction des paramètres du modèle sera énoncé. Suivront plusieurs exemples illustrant le caractère instable du type de la marche lorsqu’on perturbe légèrement les paramètres (tout particulièrement lorsque les temps de persistances ne sont plus intégrables). Enfin, si le temps le permet, j’énoncerais rapidement un résultat de type principe d’invariance pour ces marches.

Ces travaux sont issus d’une collaboration avec P. Cénac, A. Le Ny et Y. Offret.

Lieu : bâtiment Fermat, en salle 2102

Mardi 17 novembre 2015 11:30–12:30 – Mélanie de Blazière – Université de Toulouse

Partial Least Squares : une nouvelle approche au travers de polynômes orthogonaux.

Résumé : La méthode des moindres carrés partiels aussi appelée PLS est très utilisée de nos jours pour la prédiction en régression multivariée, notamment lorsque l’on a de fortes corrélations au sein des variables explicatives ou lorsque ces dernières dépassent en nombre les observations que l’on a à disposition. La PLS est une méthode de réduction de dimension astucieuse qui cherche à résoudre le problème de multicollinéarité en créant de nouvelles variables latentes qui maximisent la variance des variables initiales tout en restant optimales pour la prédiction. Si la PLS se révèle être un outil très utile et puissant dans de nombreux domaines, elle n’en reste pas moins une procédure complexe et peu de ses propriétés théoriques sont connues. Ceci est essentiellement du au fait que la fonction de dépendance qui lie l’estimateur à la réponse et à la matrice d’expérience est complexe et qu’il n’en existait pas jusqu’à présent d’expression analytique explicite.
Dans cet exposé, je vous présenterai une nouvelle façon de considérer la PLS, basée sur les liens étroits qu’elle a avec des polynômes orthogonaux particuliers que j’expliciterai et que nous appellerons par la suite polynômes résiduels. La théorie des polynômes orthogonaux nous permettra alors de donner une expression analytique explicite pour ces polynômes résiduels. Nous verrons que cette expression montre clairement de quelle façon l’estimateur PLS dépend du signal et du bruit. Nous montrerons ensuite la puissance de cette nouvelle approche au travers de l’analyse des propriétés statistiques de la PLS, et ceci en établissant notamment de nouveaux résultats sur son risque empirique et son erreur quadratique moyenne de prédiction. Nous évoquerons aussi certaines de ses propriétés de seuillage. Nous conclurons enfin en montrant comment l’approche par polynômes orthogonaux fournit un cadre unifié, qui permet de retrouver directement des propriétés déja connues de la PLS mais démontrées en passant par des approches variées et différentes de la notre.

Lieu : bâtiment Fermat, en salle 2102

Mardi 24 novembre 2015 11:30–12:30 – Dasha Loukianova – Université d’Evry Val d’Essonne

Estimation pour une marche aléatoire en milieu aléatoire, chaînes de Markov cachées et dégrafage de l’ADN.

Résumé : Nous considérons le problème de l’estimation paramétrique de la loi du milieu d’une marche aléatoire en milieu aléatoire (MAMA). Nous expliquons d’abord l’approche pour le milieu i.i.d. Quand le milieu est markovien, en utilisant le lien entre les MAMA et les processus de branchement en milieu aléatoire, nous montrons comment replacer ce problème dans le modèle de chaînes de Markov cachées. En se basant sur l’observation longue d’une seule trajectoire d’une MAMA, nous montrons la consistance, la normalité asymptotique et l’efficacité de l’estimateur du maximum de vraisemblance d’un paramètre de la loi du milieu. Nous montrons enfin l’application de notre modèle à l’expérience de dégrafage d’une molécule d’ADN.

Travail en commun avec Pierre Andreolétti, MAPMO, et Catherine Matias, LPMA.

Lieu : Salle 2102

Mardi 1er décembre 2015 11:30–12:30 – Mireille Capitaine – Institut de Mathématiques de Toulouse

Comportement asymptotique des vecteurs propres associés aux outliers de modèles matriciels aléatoires classiques déformés

Résumé : Lorsque l’on perturbe additivement ou multiplicativement un modèle de matrice aléatoire classique (de type Wigner, Wishart ou de loi unitairement invariante), certaines valeurs propres peuvent se détacher asymptotiquement du reste du spectre. On s’intéressera dans cet exposé au comportement asymptotique des vecteurs propres associés.

Lieu : Bâtiment Fermat, salle 2102

Mardi 26 janvier 2016 11:30–12:30 – Shen Lin – ENS Ulm

Mesure harmonique près d’un point typique sur un grand arbre de Galton-Watson

Résumé : Considérons un arbre de Galton-Watson critique conditionné à avoir une hauteur supérieure à n. La mesure harmonique au niveau n est la loi du point d’atteinte de la hauteur n par une marche aléatoire simple sur cet arbre. Supposons que la loi de reproduction critique est de variance finie. Il est bien connu que sous cette hypothèse le nombre de sommets dans l’arbre au niveau n est de l’ordre de n. Néanmoins, Curien et Le Gall ont prouvé en 2013 qu’il existe une constante universelle a=0.78… telle que la mesure harmonique au niveau n est portée, à un ensemble de masse arbitrairement petite près, par un ensemble de cardinal de l’ordre de n^a. Dans cet exposé, nous présentons l’existence d’une nouvelle constante universelle b=1.21… telle que, avec grande probabilité, la mesure harmonique portée par un sommet typique à la hauteur n est de l’ordre de n^-b. Si le temps le permet, nous présentons aussi des résultats analogues en cas de variance infinie, où la loi de reproduction critique appartient au domaine d’attraction d’une loi stable.

Lieu : Bâtiment Fermat, salle 2102

Mardi 9 février 2016 11:30–12:30 – Ion Grama – Université de Bretagne Sud

Théorèmes limites pour des chaînes des Markov affines conditionnées à rester positives

Résumé : Considérons une marche réelle à incréments définis par une récurrence stochastique.
Soit $ \tau_y $ le temps de sortie de la partie positive de la droite réelle de cette marche avec le point de départ $ y> 0 $. Nous étudions le comportement asymptotique de la probabilité que le temps de sortie $ \tau_y $ est plus grand que $ n $ et de la loi de la marche conditionnée à rester positive.

Lieu : Bâtiment Fermat, salle 2102

Mardi 16 février 2016 11:30–12:30 – Simeon-Valère Bitseki-Penda – Institut Mathématique de Bourgogne, Dijon

Etude des estimateurs des fonctions d’auto-régression dans un modèle autorégressif non-linéaire de bifurcation.

Résumé : Dans cet exposé, je vais faire une étude asymptotique et non-asymptotique des estimateurs des fonctions d’auto-régression dans un modèle bifurcant autorégressif non-linéaire que nous avons introduit dernièrement. Il s’agit des estimateurs de type Nadaraya-Watson que nous adaptons à la structure d’un arbre binaire régulier. L’étude non-asymptotique comprend le contrôle des bornes supérieures et des bornes minimax de convergence de nos estimateurs. L’étude asymptotique comprend d’une part la normalité asymptotique des nos estimateurs et ceci me permettra de construire un test d’asymétrie permettant de différencier les fonctions d’auto-régression ; d’autre part un principe de déviation modérées pour nos estimateurs.

L’exposé est issu d’un article écrit en collaboration avec Adélaïde Olivier (CEREMADE, Université Paris Dauphine)

Lieu : Bâtiment Fermat, salle 2102

Mardi 8 mars 2016 11:30–12:30 – Nizar Demni – IRMAR – Université de Rennes 1

Mesure spectrale du processus de Jacobi libre

Résumé : J’introduirai d’abord les processus de Jacobi réels ainsi que leurs propriétés spectrales. Ensuite, je rappellerai quelques notions de base sur les probabilités libres et j’expliquerai comment on construit le processus de Jacobi libres comme une limite (au sens des moments) du processus matriciel quand la taille de ce dernier devient large. Finalement, je donnerai une description de la mesure spectrale du processus de Jacobi libre construit a partir d’un seul projecteur orthogonal de rang continu 1/2 et des résultats récents sur cette mesure quand le projecteur est de rang arbitraire.

Lieu : Bâtiment Fermat, salle 2102

Mardi 29 mars 2016 11:30–12:30 – Grégoire Véchambre – MAPMO, Université d’Orléans

Fonctionnelles exponentielles de processus de Lévy conditionnés et temps local d’une diffusion en milieu Lévy

Résumé : Les fonctionnelles exponentielles de processus de Lévy ont été intensément étudiées ces dernières années et ont de multiples applications, notamment pour l’étude des diffusions en milieu aléatoire, l’étude des processus markoviens auto-similaires ou les mathématiques financières. Nous nous sommes intéressés aux fonctionnelles exponentielles de certains processus de Lévy conditionnés à rester positifs et nous en donnons quelques propriétés : finitude, queues de distributions, auto-décomposabilité, régularité de la densité. Nous montrons que certaines de ces propriétés (queues à gauche et régularité de la densité) sont très liées au comportement asymptotique du « Laplace exponent » du processus de Lévy. A l’aide des résultats obtenus, nous établissons ensuite la convergence en loi et le comportement presque sûr du supremum du temps local d’une diffusion dans un environnement Lévy, ce comportement sera explicité en fonction de l’asymptotique du « Laplace exponent » du processus de Lévy formant l’environnement.

Lieu : Bâtiment Fermat, salle 2102

Mardi 5 avril 2016 11:30–12:30 – Gerold Alsmeyer – Universität Münster, Allemagne

Lieu : Batiment Fermat, salle 2102

Mardi 12 avril 2016 11:30–12:30 – Ester Mariucci – Laboratoire Jean Kuntzmann, Grenoble

Équivalence asymptotique entre une expérience associée à un processus de Lévy à sauts purs et un bruit blanc gaussien

Lieu : Bâtiment Fermat, salle 2102

Notes de dernières minutes : Nous présentons un résultat d’équivalence asymptotique globale, au sens de Le Cam, entre les expériences associées à l’observation discrète (haute fréquence) ou continue d’un processus de Lévy à sauts purs et un modèle de bruit blanc gaussien observé jusqu’à un temps T qui tend vers l’infini. Ici, le paramètre d’intérêt est la densité de Lévy. Après avoir discuté des grandes lignes de la preuve, nous verrons comme des idées apparaissant dans la démonstration de ce résultat s’avèrent être utiles pour obtenir une extension du résultat bien connu sur l’équivalence entre un modèle à densité et un modèle de bruit blanc gaussien. Notre extension consiste à élargir la classe non paramétrique des densités possibles. Plus précisément, nous pouvons considérer des densités définies sur n’importe quel sous-intervalle de R aussi bien que des densités discontinues ou non bornées. Les deux résultats sont constructifs : toutes les équivalences asymptotiques sont établies en construisant des noyaux de Markov.

Mardi 3 mai 2016 11:30–12:30 – Kilian Raschel – Université de Tours

Fonctions discrètes harmoniques dans le quart de plan

Résumé : Dans cet exposé nous nous intéressons aux fonctions discrètes harmoniques dans des cônes (en particulier dans le quart de plan). La série génératrice de ces fonctions harmoniques satisfait une équation fonctionnelle proche de celle obtenue dans le contexte de l’énumération de marches dans le quart de plan. Nous montrons le lien entre ces fonctions harmoniques et une famille à un paramètre d’applications conformes. Une des motivations à l’étude de ces fonctions est qu’elles permettent le conditionnement au sens de Doob de marches aléatoires à ne jamais quitter le cône.

Lieu : bâtiment Fermat, en salle 2102

Mardi 10 mai 2016 11:30–12:30 – Antoine Marchina – LMV – UVSQ

Inégalités de déviation pour des fonctions séparément convexes

Résumé : Dans cet exposé, nous donnons de nouvelles inégalités de déviation pour des fonctions séparément convexes de variables aléatoires indépendantes.
Notre méthode repose sur des techniques de martingales où les accroissements ne sont bornés que stochastiquement. A cette fin, en nous appuyant sur des résultats de Bentkus (2007, 2008 et 2010), nous établissons des inégalités de comparaison pour des variables aléatoires dominées stochastiquement à gauche et à droite.

Lieu : Bâtiment Fermat, salle 2102

Mardi 17 mai 2016 11:30–12:30 – Laure Dumaz – Laboratoire Ceremade, Paris IX

Des forêts couvrantes presque-critiques

Résumé : Dans cet exposé, nous étudierons des forêts couvrantes aléatoires dans le plan qui sont des perturbations de l’arbre couvrant uniforme, à la fois dans le régime discret et sa limite continue. Nous montrerons que ces forêts peuvent être vues comme la mesure invariante d’un processus de Markov naturel sur des graphes abstraits avec des poids non-constants sur les arêtes. Du point de vue de la renormalisation, ce processus de Markov correspond à une ligne de flot presque-critique autour de l’arbre couvrant uniforme (qui est le point critique).

Travail en commun avec Stéphane Benoist et Wendelin Werner.

Lieu : Bâtiment Fermat, salle 2102

Mardi 7 juin 2016 11:30–12:30 – Marwa Banna – ENST (Télécom Paris)

Inégalité de type Bernstein pour des matrices dépendantes

Résumé : On s’intéresse à des inégalités de déviation pour la plus grande valeur propre d’une somme de matrices aléatoires auto-adjointes. Plus précisément, on établit une inégalité de type Bernstein pour la plus grande valeur propre de la somme de matrices auto-ajointes, centrées et géométriquement $\beta$-mélangeantes dont la plus grande valeur propre est bornée. Ceci étend d’une part le résultat de Merlevède et al. (2009) à un cadre matriciel et généralise d’autre part le résultat de Tropp (2012) pour des sommes de matrices indépendantes.

Travail en collaboration avec F. Merlevède et P. Youssef.

Lieu : Bâtiment Fermat, salle 2102