Séminaires AG 2008-2009

Liste des séminaires

• Mardi 16 juin 2009 – Daniel Naie (Univ. Angers) : Les nombres de saut d’une courbe unibranche sur une surface lisse

Résumé : On établit une formule pour les nombres de saut d’une courbe unibranche à singularité isolée. Cette formule est exprimée, ou bien en utilisant le diagramme d’Enriques de la singularité, ou bien en utilisant les exposants de Zariski – un ensemble minimal de générateurs du semigroupe de la singularité.

• Mardi 9 juin 2009 – Frédéric Paugam (Univ. Paris 6) : Symétries spectrales des fonctions zetas et géométrie analytique globale

Résumé : On définit un accouplement symplectique sur l’interpretation spectrale de Connes/Meyer pour les zéros de zeta. Cet accouplement avait été défini sous l’hypothèse de Riemann par Sarnak. On en donne une construction inconditionnelle. On présente ensuite une faisceautisation de l’interprétation spectrale locale utilisant la géométrie analytique globale de Berkovich et on explique des difficultés simples inhérentes à la potentielle combinaison de ces deux constructions.

• Mardi 12 mai 2009 – Jacques Patarin (PRISM, UVSQ) : Cryptographie transfinie et généralisations du théorème de Gödel

Résumé : Nous nous intéressons aux problèmes de cryptographie dans le cadre d’adversaires dont la puissance est bornée par un cardinal infini donné (par exemple le dénombrable). Nous verrons que plusieurs constructions se généralisent naturellement, mais également que des problèmes nouveaux apparaissent. De plus, plusieurs généralisations de modèles de calculs seront présentés. Nous obtiendrons également des généralisations intéressantes du théorème d’incomplétude de Gödel dans ce cadre.

• Mardi 5 mai 2009 – Radu Stancu (Univ. Picardie) : Sur le centre gradué de la catégorie stable d’un $p$-groupe fini

Résumé : Soit $k$ un anneau commutatif. Le centre gradué d’une catégorie $k$-linéaire triangulée $(C,\Sigma)$ sur $k$ est un $k$-module gradué ayant comme composante en degré $n$ l’ensemble des transformations naturelles $k$-linéaires de l’identité dans $\Sigma^n$ qui commutent au signe près avec $\Sigma:\Sigma\phi = (-1)n\phi\Sigma$. La catégorie stable des modules de type fini sur une $k$-algèbre auto-injective, de dimension finie est une catégorie triangulée ayant comme foncteur de décalage l’inverse de l’opérateur de Heller. Son centre gradué a été calculé par Radha Kessar et Markus Linckelmann dans le cas des algèbres d’arbres de Brauer (qui inclut le cas des algèbres des $p$-groupes cycliques en caractéristique $p$). Je vais commencer par introduire et expliquer les objets mathématiques utilisés et continuer par décrire les propriétés du centre gradué de la catégorie stable d’un $p$-groupe fini. Le but de l’exposé est de montrer que pour tout $p$-groupe $P$ de rang au moins 2 et tout corps algébriquement clos $k$ de caractéristique $p$, le centre gradué de la catégorie stable des $kP$-modules de type fini est de dimension infinie en degrés impairs si p est impair et en tout degré si $p=2$. Ce travail est fait en collaboration avec Markus Linckelmann.

• Mardi 7 avril 2009 – Jérémy Le Borgne (Univ. Rennes) : Optimisation du théorème d’$Ax$-Sen-Tate appliquée à un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique
  

Résumé : Soit $p$ un nombre premier, $Qp$ le corps des nombres $p$-adiques, $K$ une extension finie de $Qp$, $Kbar$ une clôture algébrique et $C$ la complétion de $Kbar$. Dans sa preuve du théorème d’$Ax$-Sen-Tate, que je rappellerai, $Ax$ montre que si $x$ élément de $C$ vérifie $v(sx – x) = A$ pour tout s dans le groupe de Galois absolu de $K$, $G$, alors il existe $y$ dans $K$ tel que $v(x-y) = A-c$, où $c$ est la constante $p/(p-1)2$. $Ax$ s’interroge sur l’optimalité de cette constante, je répondrai à cette question en utilisant l’extension de $K$ par les racines$ p^n$ -èmes de l’uniformisante, et en m’appuyant sur les idées que Tate a développées dans sa démonstration du théorème d’$Ax$-Sen-Tate. Je montrerai comment cette étude donne des résultats plus précis sur les éléments de $C$ vérifiant l’hypothèse du théorème d’$A$x, qui permettent de décrire assez précisément $H1(G, O_Kbar)$..

• Mardi 17 mars 2009 – Clemens Bruschek (Univ. Vienne) : Linearization problems in geometry

Résumé : We present a generalization of the Rank Theorem for smooth maps between finite dimensional $\mathbb{C}$ vector spaces to maps between formal power series spaces. The class of maps under consideration will allow a wide range of applications including approximation theorems, local automorphism groups of varieties and recurrences.

• Mercredi 11 mars 2009 à 15 h – Olivier Piltant : Une version axiomatique du théorème de recollement de Zariski

Résumé : Nous introduirons six axiomes relatifs à une propriété de régularité $P$ dans une classe d’équivalence birationnelle $K$ de dimension trois. L’axiome 5 stipule l’existence d’uniformisation locale des valuations pour $P$. Si $P$ satisfait de plus les axiomes 1 à 4, alors $K$ possède un modèle projectif régulier pour $P$. L’axiome 6 assure l’existence de résolution des singularités pour tout modèle projectif donné dans $K$. Les applications concernent la résolution pour les champs de vecteurs et une version faible de la conjecture de factorisation de Hironaka en caractéristique zéro.

• 3 mars 2009 – Benoît Stroh (Univ. de Nancy) : Compactifications de variétés de Siegel aux places de mauvaise réduction

Résumé : Un problème naturel en géométrie algébrique, initié par Mumford, est de compactifier les espaces de modules de variétés abéliennes. Faltings et Chai y ont grandement contribué en construisant des compactifications toroïdales arithmétiques aux places de bonne réduction de ces espaces. Nous généralisons leur méthode aux places de mauvaise réduction associées à des niveaux parahoriques.

• 10 février 2009 – Indira Chetterji (Univ. d’Orléans) : Analyse harmonique sur les groupes de Lie p-adique

• 27 janvier 2009 – D. Tossici (Max-Planck Institute) : Models of $({Z/p^2}Z)_K$ in unequal characteristic

Résumé : Let $R$ be a discrete valuation ring of unequal characteristic and let K be its fraction field. The aim of this talk is to give the classification of models of $(Z/p^2Z)_K$, i.e. finite and flat group schemes over R which are isomorphic to $(Z/p^2Z)_K$ over $K$. The main features of this classification are the following: 1) the parameters can be easily interpretated; 2) the description of the models is explict, i.e. it is given in terms of equations; 3) any model can be seen as the kernel of an exact sequence which coincides generically with the Kummer sequence. This sequence let us to generalize the Kummer Theory to describe torsors under these group schemes. The main tool which we use is the Sekiguchi-Suwa Theory, which we will briefly recall. If we will have enough time we will compare our work with the recent works of Breuil and Kisin about the classification of finite and flat goup schemes over a d.v.r.

• 20 janvier 2009, après le séminaire – Monique Lejeune-Jalabert(UVSQ, LMV) : Présentation du groupe de travail « Arcs tracés »

• 20 janvier 2009 – Laurent Demonet (ENS-Ulm) : Catégorification d’algèbres amassées antisymétrisables

• 13 janvier 2009 – Benjamin Schraen (ENS-Ulm) : Représentations localement analytiques de $GL3(Qp)$ et invariants $L$

Résumé : A certaines représentations galoisiennes semi-stables de dimension 3, nous associons un complexe de représentations localement analytiques de $GL3(Qp)$ et montrons comment le complexe de de Rham de l’espace de Drinfel’d fait le lien entre ces deux objets. Ce travail est inspiré de la construction par Breuil de représentations localement analytiques de $GL2(Qp)$ faisant intervenir les invariants $L$ provenant, par exemple, de formes modulaires.

• 6 janvier 2009 – R. Hartshorne : Variétés lissifiables et non lissifiables

Résumé : Une variété X0/k est lissifiable s’il existe une famille plate X/T au dessus d’une courbe lisse T et un point O de T tel que la fibre en O est X0 et les fibres Xt pour t≠0 sont lisses. On définit une notion de variété formellement lissifiable qui permet de passer du local au global et ainsi d’utiliser la théorie des déformations infinitésimales pour donner des exemples intéressants de variétés non lissifiables.

• 16 décembre 2008 à 12h30 – Jeremy Berthomieu (LMV) : Puiseux versus Kedlaya

• 16 décembre 2008 – Guillaume Moroz (LIP6) : Description des solutions réelles de systèmes dépendant de paramètres

Résumé : Soit $S$ un système d’équations et d’inéquations polynomiales dépendant de paramètres. Nous aborderons le problème de décrire l’ensemble des ouverts connexes $U$ de l’espace des paramètres tels que $S$ restreint à $U$ admet un nombre constant de solutions réelles. Nous présenterons les difficultés que la résolution de ce problème pose en terme de complexité et de calcul efficace. Nous montrerons comment contourner ces difficultés et comment ces méthodes s’appliquent sur un problème ouvert issu de la robotique.

• 2 décembre 2008 – Vincent Pilloni (Université Paris 7, Institut Galilée) : Prolongement analytique pour les formes de Siegel de genre 2

Résumé : Buzzard et Kassaei ont développé une technique géométrique pour prolonger analytiquement les formes modulaires surconvergentes en des vraies formes modulaires. Cette technique leur a permis de redémontrer le théorème de classicité de Coleman et Hida. On expliquera pourquoi certains travaux de Fargues apportent un éclairage nouveau sur cette méthode et on montrera qu’elle se généralise au cas des formes de Siegel de genre 2.

• 4 novembre 2008 – Ariane Mézard (UVSQ, LMV) : Critère de platitude pour les couples d’anneaux locaux

Résumé : Soit f : $A$—> $B$ un morphisme plat d’anneaux artiniens locaux. Bart de Smit conjecture qu’un $B$-module plat sur $A$ est plat sur $B$. Dans un travail en collaboration avec S. Brochard, nous démontrons cette conjecture en dimension de plongement 1 ou 2. Nous discutons ensuite le cas de dimension supérieure.

• 28 octobre 2008 – Ariane Mézard (UVSQ, LMV) : Autour de la correspondance de Langlands locale p-adique

• 21 octobre 2008 – Monique Lejeune-Jalabert : Présentation du groupe de travail « Sur les arcs et les jets »

• 14 octobre 2008 – Vincent Cossart : présentation du groupe de travail « Résolution des singularités »

Résumé :  Le problème de la résolution des singularités est ancien. L’énoncé s’est précisé avec le temps. Pour Zariski, le problème était: Soit $k$ un corps, soit $Z/k$ une variété projective réduite irréductible de lieu singulier $\Sigma$. Construire un morphisme projectif $π: Z —> \tilde Z$, tel que (i) $\tilde{Z}$ est régulier. (ii) π est birationel, c’est-à-dire. induit un isomorphisme π $i^{-1}U) \ll U$ où $U$ est un ouvert non vide de $Z$. Il a résolu cette question pour $k$ algébriquement clos de caractéristique 0 et $dim(Z) \leq 3$ en 1944. Nous donnerons une idée de son programme, en particulier du procédé uniformisation-recollement. Abhyankar, suivant le programme de son gourou, a résolu cette question pour $k$ algébriquement clos de caractéristique $p$ et $dim(Z) < 2$ en 1956. Hironaka en 1964 prouva son fameux théorème : Soit $k$ un corps de caractéristique 0, soit $Z$ un $k$-schéma régulier excellent et $X$ un fermé de $Z$. Alors il existe un morphisme π:$X$’ —> $X$ composé d’éclatement à centres réguliers se projetant sur $Sing(X)$ tels que $X$’ est régulier. Il obtient en plus que π $i^- Sing(X)$ est un diviseur à croisements normaux de $X$’. Nous donnerons une idée rapide des méthodes d’Hironaka. Ces méthodes ont permis de donner une nouvelle démonstration de la désingularisation des courbes puis des surfaces dans le cadre le plus général possible.

• 7 octobre 2008 – Stefano Morra (UVSQ, LMV) : Autour des représentations de $GL_2(Z\}_p)$

Résumé : On étudie le $k$-module $Sym^n(k^2)$, soit en tant que représentation du k-groupe algébrique $GL_2$, soit en tant que représentation lisse de $Gl_2 (Z_p)Q_p*$ lorsque $k=\overline Fp$.Dans ce cas, on explicite des résultats de Breuil et Glover pour rédiger une liste, avec multiplicités, des facteurs de la représentation $Sym^n (\overline {Fp2})$ pour n’importe quel $n\in{N}$.

• 30 septembre 2008 – Pascal Hivert (UVSQ, LMV) : Sheets sous réguliers pour les algèbres de Lie de rang 2.

Résumé : On note g une algèbre de Lie simple de rang 2 sur $\Bbb{C}$. D’après la classification, les choix possibles sont $\frak{sl_3}$, $\frak{so_5}$ = $\frak{sp_4}$ et $\frak{g_2}$. Un sheet est une composante irréductible d’un $\frak{g_k}$ (ensemble des éléments de $\frak{g}$ qui ont un centralisateur, sous l’action du groupe adjoint, de dimension $k$). Nous essaierons de décrire les sheets sous réguliers (dimension du centralisateur égale 4) dans le cas de $\frak{so_5}$ = $\frak{sp_4}$ et $\frak{g_2}$, et les liens possibles avec l’orbite nilpotente sous régulière.