Séminaires AG 2010-2011

• 31 mai 2011 – Guillaume Rond (Institut de Mathématiques de Luminy) : Le théoreme d’Abhyankar-Jung

Résumé : On considère un polynôme de Weierstrass a coefficients dans un anneau de séries formelles sur un corps de caractéristique nulle. Le théorème d’Abhyankar-Jung nous dit que si le discriminant de ce polynôme est a croisement normaux (c’est-a-dire si ce polynôme est quasi-ordinaire), alors les racines de ce polynôme sont des séries de Puiseux en plusieurs variables. Nous allons donner une nouvelle preuve de ce résultat. Pour cela nous allons montrer, qu’après transformation de Tchirnhausen, le polyèdre de Newton d’un polynôme quasi-ordinaire est contenu dans le polyèdre de Newton d’un polynôme quasi-homogène. Nous en déduirons une version du théorème d’Abhyankar-Jung pour des anneaux henseliens qui n’admettent pas nécessairement de théoréme de préparation de Weierstrass ; ce qui est le cas, en particulier, des germes de fonctions quasi-analytiques.

• 24 mai 2011 – Xavier Caruso (Université de Rennes/CNRS) : Représentations galoisiennes et $(\phi,\tau)$-modules

Résumé : Dans cet exposé, je présenterai la théorie des $(\phi,\tau)$-modules qui est un analogue de la théorie des $(\phi,\Gamma)$-modules de Fontaine dans lequel l’extension cyclotomique est remplacée par l’extension de Breuil-Kisin obtenue en ajoutant un système compatible de racines $p^n$-ièmes de l’uniformisante. Je donnerai ensuite deux applications de la théorie, premièrement, à la reconnaissance des représentations semi-stables et, deuxièment, à une nouvelle classification des réseaux à l’intérieur de celles-ci..

• 10 mai 2011 – Vanessa Miemietz (University of East Anglia) : Rational representations of of $GL_2$

Résumé : I will explain a recursive construction of rational representations of $GL_2$ over an algebraically closed field of positive characteristic and applications to the computation of Yoneda extension algebras of both simple modules and Weyl modules. This is joint work with Will Turner.

• 3 mai 2011 :

 9h45-10h45 : Clément de Seguins Pazzis (professeur en MP* au Lycée Sainte-Geneviève de Versailles) : Géométrie affine des espaces de matrices

Résumé : Soit $K$ un corps commutatif arbitraire. La géométrie affine des espaces de matrices est une branche de l’algèbre linéaire qui consiste en l’étude de sous-ensembles de matrices carrées ou rectangulaires à coefficients dans $K$, vus sous le seul angle de la structure affine. Un exemple typique est le problème de la classification des sous-espaces affines de $M_n(K)$ inclus dans le cône des matrices singulières. Dans cet exposé, je ferai un tour d’horizon des résultats historiques les plus marquants (énoncés dus à Frobenius, Dieudonné et Gerstenhaber) puis exposerai certains de mes travaux récents sur le sujet (généralisation du théorème d’Atkinson-Lloyd à un corps arbitraire, classification des sous-espaces affines de dimension maximale inclus dans $GL_n(K)$).

 11h30-12h30 : Gaëtan Chenevier (CNRS/ Ecole Polytechnique) : Sur la densité des représentations cristallines du groupe de Galois absolu de $Q_p$

Résumé : Soit $X_d$ l’espace analytique p-adique (de dimension $d^2+1$) paramétrant les représentations p-adiques continues, semi-simples, et de dimension $d$, du groupe de Galois absolu de $Q_p$. Nous démontrerons que les représentations cristallines sont Zariski-denses dans de nombreuses composantes irréductibles de $X_d$, incluant celles paramétrant les représentations résiduellement irréductibles dès que $p>d+1$. Un des ingrédients est une construction de la « fougère infinie » dans ce contexte basée sur une étude des familles analytiques de (phi,Gamma)-modules triangulins sur l’anneau de Robba.

• 12 avril 2011 – Wael Mahboub : Polynômes-clés et familles de valuations augmentées itérées

Résumé : Soient $K \rightarrow L$ une extension de corps, $\nu$ : $K \rightarrow \Gamma$ une valuation et $\mu$ une extension de $\nu$à $L$. Dans le cas où $\nu$ est discrète de rang 1, Maclane a introduit la notion des polynômes-clés pour $\mu$ et des valuations augmentées. Il a démontré que $\mu$ est obtenue comme une limite d’une famille de valuations augmentées sur l’anneau des polynômes $K[x]$. Dans une série d’articles, Michel Vaquié a généralisé la notion des polynômes-clés au cas de la valuation $\nu$ arbitraire (c’est à dire, au cas où $\nu$ n’est pas nécéssairement discrète de rang 1). D’autre part, dans l’article « Valuations in algebraic -eld extensions » par F. J. Herrera Govantes, M. A. Olalla Acosta, M. Spivakovsky, Journal of Algebra, Volume 312, Issue 2 (2007), pages 1033-1074., les auteurs développent leur propre notion des polynômes-clés, où $\nu$ est archimédienne de rang 1. Il semble bien que les deux notions des polynômes-clés sont très liées. Nous allons expliquer le lien précis entre les deux. Nous allons d’abord démontrer que les polynômes-clés construis par H.O.S sont aussi des polynômes-clés en sens de M. Vaquié. En suite, nous allons comparer les familles de valuations associées à un système de polynômes-clés complet pour $\mu$ défni par H.O.S et les familles de valuations admises pour $\mu$ défi-nies par M. Vaquié.

• 5 avril 2011 – Aurélien Greuet (UVSQ) : Utilisation de variétés polaires pour la résolution de problèmes d’optimisation

Résumé : On considère des problèmes d’optimisation globale algébrique : il s’agit de calculer la borne inférieure d’un polynôme multivarié sous des contraintes polynomiales. Résoudre un tel problème peut avoir plusieurs significations selon le contexte applicatif. On peut chercher par exemple à certifier des bornes inférieures sur l’infimum. Ceci peut s’effectuer par le calcul de certificats algébriques (Positivstellensatz). Dans cet exposé, je montrerai l’existence de certificats fondés sur des décompositions en sommes de carrés qui généralisent des résultats précédemment obtenus par Nie, Demmel et Sturmfels. Dans le cas non contraint, on s’intéressera au problème de décider si la borne inférieure d’une fonction polynomiale est un minimum. Je présenterai un algorithme et son analyse de complexité pour résoudre ce problème. Comme pour le problème précédemment mentionné, cet algorithme s’appuie sur l’étude des propriétés de variétés polaires qui encodent des points critiques.

• 29 mars 2011 – Gabriel Dospinescu (Ecole Polytechnique) : Involution de Colmez et correspondance de Langlands locale p-adique

Résumé : Si V est une représentation galoisienne p-adique et Pi est la représentation de Banach attachée a V par la correspondance de Langlands locale p-adique, on décrit explicitement l’action infinitésimale de GL-2(qp) sur les vecteurs localement analytiques de Pi. Cela répond a une question d’Emerton et Harris et permet de re-démontrer un théorème profond de Colmez : V est de Rham a poids de Hodge-Tate distincts si et seulement si Pi a des vecteurs algébriques non nuls. On expliquera aussi une autre approche pour une conjecture de Colmez, démontrée par Paskunas.

• 22 mars 2011 – Sudhir Ghorpade (Indian Institute of Technology Bombay – Bombay) : Linear sections of Grassmann varieties

Résumé : Consider a Grassmann variety with its canonical Pl\ »ucker embedding. We can cut it by linear subspaces of a fixed dimension of the Plucker projective space. This gives rise to an interesting class of varieties, which include Schubert varieties in Grassmannians as a special case. A number of basic questions can be asked. For example, (i) What can one say about the geometry of these sections, in particular, about the irreducibility (or in general, the number of irreducible components), singular loci, Cohen-Macaulayness, etc. (ii) Fixing the dimension of the linear subspace, can one determine which of the linear sections are « maximal » ? ?In regard to (ii), it may be noted that the term « maximal » can be interpreted in several ways and we will be particularly interested in maximality with respect to the number of ${\mathbb F}_q$-rational points. We will describe some of the known results and some open questions. This includes, in particular, an answer to a basic question in multilinear algebra that should have been an exercise in Bourbaki’s \emph{Algebra I} (Ch. III).

• 15 mars 2011 :

 9h45-10h45 – Pierrette Cassou-Noguès (Université de Bordeaux) : exposé annulé

 11h30-12h30 – Michael Bulois (Université d’Angers) : Action doublée et variété commutante dans les algèbres de Lie symétriques semisimples

Résumé : L’action adjointe d’un groupe de Lie semisimple $G$ sur son algèbre de Lie $g$ est maintenant relativement bien comprise. Le but de cet exposé est de donner quelques éléments sur l’action diagonale (aussi appelée action doublée) de $G$ sur $g*g$ (via $g.(x,y)=(g.x,g.y))$. L’étude de cette action en toute généralité est un problème difficile. Afin d’obtenir des informations, une stratégie consiste à étudier des sous-variétés particulières de $g*g$, notamment la variété commutante $\{(x,y)|[x,y]=0\}$. J’expliquerai ceci dans le cadre des algèbres de Lie semisimple et des algèbres de Lie semisimples symétrique.

• 8 mars 2011 :

 9h45 -10h45- Evelia Garcìa-Barroso (Université La Laguna) : On the approximate jacobian Newton diagrams of an irreducible plane curve

Résumé : We introduce the notion of an approximate jacobian Newton diagram which is the jacobian Newton diagram of the morphism $(f^{(k)},f)$ where f is a branch and $f^{(k)}$ is a characteristic approximate root of f. We prove that the set of all approximate jacobian Newton diagrams is a complete topological invariant. This generalizes the theorem of Merle about the decomposition of the polar curve of a branch.

 11h30-12h30 – Olivier Benoist (ENS-Paris) : Espaces de modules d’intersections complètes lisses

Résumé : On considèrera le problème de modules des intersections complètes lisses dans l’espace projectif. On s’intéressera à l’existence d’un espace de modules grossier, à sa séparation et à sa quasi-projectivité.

• 15 février 2011 – Olivier Brinon (Université Paris 1

• 8 février 2011 – Orlando Villamayor (univ autonoma Madrid) : On the open problem of resolution of singularities

Résumé : The objective is to discuss an approach to resolution of singularities which makes use of Rees algebras. We shall report on properties of Rees algebras, which in a natural way, are compatible with differential operators. Algebras with these properties provide us with a new perspective of resolution over fields of characteristic zero. They also give some information, although partial, on the open problem of resolution in positive characteristic.

• 1 février 2011 – Fernando Sanz (Universidad de Valladolid) : Sur les champs de gradients retreints aux surfaces singulières

Résumé : Il est bien connu que les trajectoires d’un champ de vecteurs gradient analytique sur le plan convergent aux points singuliers en ayant une tangente limite bien définie et en étant nonoscillantes. Dans cet exposé, nous montrons que le même résultat reste vrai pour la restriction à une surface analytique singulière d’un champ de gradient dans un espace ambiant de dimension plus grande. C’est un travail en collaboration avec Vincent Grandjean.

• 25 janvier 2011 – Lucia Di Vizio (IMJ) : Sur l’arithmétique des équations aux q-différences

• 18 janvier 2011 – Salma Kuhlmann (Konstanz University) : Truncation closed embeddings of valued fields in generalised series fields

résumé : We study necessary and sufficient conditions for a valued -eld $K$ with value group $G$ and residue -eld $k$ (with char $K$ = char $k$) to admit a truncation closed embedding in the -eld of generalized power series $k((G; f))$ (with factor set $f$). We show that this is equivalent to the existence of a family (tower of complements) of $k$-subspaces of $K$ which are complements of the (possibly fractional) ideals of the valuation ring, and satisfying certain natural conditions. If $K$ is a Henselian -eld of characteristic 0 or, more generally, an algebraically maximal Kaplansky -eld, we give an intrinsic construction of such a family which does not rely on a given truncation closed embedding. We also show that towers of complements and truncation closed embeddings can be extended from an arbitrary -eld to at least one of its maximal immediate extensions This is joint work with A. Fornasiero and F.-V. Kuhlmann.

• 30 novembre 2010- François Charles (ENS Paris) : Les conjectures standard pour certaines variétés symplectiques holomorphes

Résumé : Les conjectures standard de Grothendieck prédisent l’existence de certaines sous-variétés de variétés projectives. Le but de cet exposé est d’expliquer la démonstration des conjectures standard pour les déformations de schémas de Hilbert d’une surface K3 complexe (travail en commun avec Eyal Markman), ainsi qu’une partie des conjectures en caractéristique positive.

• 23 novembre 2010 – Hussein Mourtada (LMV) : Espaces des arcs et identités de Rogers-Ramanujan

Résumé : L’espace des arcs centrés en un point d’un schéma X est un schéma affine dont l’anneau des sections est naturellement gradué, et fournit une série de Poincaré qu’on note AHS_X(t). Si X est le point double $Spec(k[x]/x^2)$, Nous démontrons que AHS_X(t) est la série de Rogers-Ramanujan. On retrouve ainsi une démonstration simple par l’algèbre commutative de la fameuse première identité de Rogers-Ramanujan. Travail en collaboration avec Clemens Bruschek et Jan Schepers.

• 16 novembre 2010 – Vincent Sécherre (UVSQ) : Représentations des groupes réductifs p-adiques (suite)

• 9 novembre 2010 – Benjamin Schraen (LMV) : Homologie localement analytique p-adique des groupes discrets et application à la cohomologie de surfaces uniformisées par l’espace de Drinfeld

Résumé : Soit F une extension finie de Qp. Nous donnons un critère d’annulation de l’homologie d’un sous-groupe discret cocompact de PGL_d(F), à coefficients dans une série principale localement analytique. Nous en déduisons certains cas d’une conjecture de P. Schneider sur la cohomologie p-adique à coefficients non nécessairement constants de surfaces uniformisées par le demi-espace de Drinfeld. Travail en commun avec Jan Kohlhaase

• 8 octobre 2010 – Nicolas Ressayre : Cône de Horn : un cône aux multiples facettes

Résumé : Rappelons que toute matrice hermitienne A de taille $n$ $\times$ $n$ est diagonalisable et que son spectre $\lambda(A)$ est réel. On se pose alors la question suivante: Que peut-on dire du spectre de la somme de deux matrices hermitiennes si l’on ne connait que les spectres des facteurs ? L’ensemble Horn $(n)$ des triplets $(\lambda(A);\lambda(B); \lambda(A + B))$ possibles forment un cône convexe polyédral de $R^3^n$ qu’il s’agit de décrire. Cette question apparemment naïve a une longue et riche histoire. Par exemple, Horn formula une réponse conjecturale en 1962 ; la démonstration de cette conjecture fut achevée en 1999 par Knutson-Tao. Un des ingrédients (dû à Klyachko) de la preuve est que la question peut-être réinterprétée en terme de théorie des représentations de $GL_n$ : plus précisément, le problème de décomposition du produit tensoriel (calcul des coefficients de Littlewood-Richardson) conduit à considérer un semigroupe de $Z^3^n$ qui engendre Horn$(n)$. Le point de vue  » théorie des représentations » admet des généralisations intéressantes qui conduisent aussi à des semigroupes et des cônes convexes polyédraux. Dans cet exposé, nous donnerons un aperçu des résultats récents obtenus sur ces cônes et ces semigroupes.

• 5 octobre 2010 – Mickaël Matusinski (LMV) : Théorème de Puiseux différentiel pour les séries généralisées de rang fini

Résumé : Soit $K_r:=R(G_r)$ un corps de séries généralisées de rang fini $r$ $\in$ $N∗$, muni d’une dérivation de Hardy, i.e. avec les même propriétés valuatives que celle des germes de fonctions dans un corps de Hardy. Étant donné un ordre de dérivation $n$ $\in$ $N$ quelconque fixé, nous considérons des équations différentielles (1) : $F (y,y’, . . . ,y^n) = 0$ où $F (y,y’, . . . ,y^n )$ est une série formelle en la variable $y,y’, . . . ,y^n$ avec descoefficients dans $K_r$. Notre objet est de montrer comment l’ensemble des exposants d’une solution $y$ $ \in$ $K_r$ de (1), autrement dit son support Supp y, se déduit de manière finie de l’ensemble Supp F des exposants des coefficients de l’équation.

• 28 septembre 2010 – Vincent Sécherre (UVSQ) : Représentations des groupes réductifs p-adiques

Résumé : Je présenterai les grandes lignes de mes travaux concernant la théorie des représentations de GL(n) (et autres groupes associés) sur un corps p-adique.

• 21 septembre – Ana J. Reguera : Singularités rationnelles de surfaces et problème des arcs de Nash.

Résumé : Le problème des arcs sur une variété X consiste à savoir sʼil y a bijection entre les composantes irréductibles de lʼespace des arcs sur X et les composantes exceptionnelles essentielles de X , i.e. les diviseurs exceptionnels apparaissant modulo equivalence birationnelle sur chaquerésolution divisorielle de X . Le problème est toujours ouvert pour les surfaces, pour lesquelles il se réduit aux singularités quasirationnelles. Une réponse affirmative est obtenue dans le cas plus restrictif des singularités rationnelles, dont je donnerai une esquisse de la preuve.