Les séminaires ont lieu le mardi, bâtiment Fermat, en salle 2203 à 11h30.
Organisateurs : Aude Illig et Alexis Devulder
Liste des séminaires
- 7 juin 2011 – Damien Simon (Paris 6) : Marches aléatoires branchantes : vitesse d’évolution, extinction sous sélection et généalogies
| Résumé : L’un des modèles les plus basiques de dynamique des populations sous sélection est celui des marches aléatoires branchantes. Le même type de dynamique se retrouve également dans l’étude de différents modèles de mécanique statistique, comme les polymères dirigés. Nous aborderons ici la description de marches aléatoires branchantes en présence d’un seuil de sélection qui progresse linéairement au cours du temps. Nous présenterons d’une part la transition de phase vers l’extinction qui se produit dans le système et d’autre part la description de la population conditionnée sur certains événements finaux rares. Les outils utilisés permettent de mettre en évidence certaines caractéristiques des généalogies, comme le coalescent de Bolthausen-Sznitman. |
- 31 mai 2011 – Julien Worms (UVSQ) : Régions de confiance par vraisemblance empirique pour les paramètres de premier ordre de lois à queues lourdes
| Résumé : En statistique des valeurs extrêmes univariée, une approche de la modélisation de la queue de distribution d’un échantillon i.i.d. est la méthode POT (Peaks Over a Threshold), qui consiste à approximer par une loi de Pareto généralisée (GPD) la loi des excès des observations au delà d’un certain seuil. Un des paramètres de cette loi GPD est le fameux indice des valeurs extrêmes $gamma$, qui a fait l’objet d’un intérêt considérable depuis de nombreuses années. Le second paramètre est le paramètre d’échelle $sigma_n$. L’estimation jointe du couple $(gamma,sigma_n)$ a par contre suscité beaucoup moins de travaux théoriques, en particulier en ce qui concerne la recherche de régions de confiance pour ce couple. Les approches principales sont celles basées sur la maximisation de la vraisemblance ou sur les moments pondérés. L’objectif du travail présenté ici est de s’appuyer sur une approche alternative récente de l’estimation jointe de $(gamma,sigma_n)$ (due à J.Zhang en 2007), et de l’exploiter en conjonction avec la méthodologie de la vraisemblance empirique, qui présente de nombreux avantages. On montrera que cela mène à une meilleure qualité des régions de confiance en termes de niveau réel (coverage probability) par rapport aux méthodes classiques. On verra également que »profiler » la vraisemblance empirique mène à des intervalles de confiance pour $gamma$ seul, dont on commentera les qualités sur des simulations. A noter que ce travail sera réalisé dans le cadre de lois à queues lourdes, c’est-à-dire lorsque $gamma$ est strictement positif.(Travail en collaboration avec Rym Worms, publié dans Journal of Statistical Planning & Inference) |
- 4 avril 2011 – Catherine Donati Martin (CNRS-LMPA, Paris 6) : Matrices de Haar tronquées et pont brownien bivarié
| Résumé : Soit $U$ une matrice Haar-distribuée sur le groupe unitaire $U(n)$ ou le groupe orthogonal $O(n)$. On s’intéresse au comportement asymptotique ($n rightarrow infty$) de la statistique suivante, à valeurs processus à 2 paramètres : pour $s, t in [0,1]$, $$X^(n)_s,t =Tr(U_p,qU^*_p,q) – E[Tr(U_p,qU^*_p,q)] $$où $p = lfloor sn rfloor$, $q = lfloor tn rfloor$ et $U_p,q$ est la sous matrice de taille $ptimes q$ de $U$. Une statistique analogue a été considérée pour une permutation aléatoire uniforme par Chapuy, dans un contexte d’application à la biologie. Nous montrons que la suite de processus $X^(n)$ converge en loi vers un pont brownien bivarié. |
- 31 mars 2011 – Marguerite Zani (Université Paris-Est – Créteil) : Classification de diffusions en dimension 2
| Résumé : Soit une mesure $\mu$ sur un espace mesurable $(I,{\cal B}(I))$ o\`u $I$ est un intervalle de $\mathbb R$ et $\mu$ admet certains moments exponentiels : $\exists a>0$ ; $\int_Ie^{a|x|}d\mu(x)<\infty$. La question est la suivante: quels sont les semi-groupes de Markov $(P_t)$ admettant $mu$ comme mesure stationnaire, tels que ces semi-groupes soient des semi-groupes de diffusion (au sens Bakry-Emery), symétriques, et qu’ils soient diagonalisables sur une base de polynômes orthonormés dans $L^2(\mu)$? Si on note $L$ le générateur infinitésimal associé à $(P_t)$, Bakry et Mazet montrent qu’il n’y a que 3 familles de diffusions (à transformations affines près) qui conviennent: les processus d’Ornstein-Uhlenbeck, les processus carrés de Bessel (ou carrés radial d’Ornstein-Uhlenbeck) et les processus de Jacobi. Essentiellement, il ne s’agit que d’une famille, celle des processus de Jacobi puisque les autres peuvent se retrouver à partir de l’opérateur du Jacobi.Dans un travail en cours, nous cherchons à étendre cette classification en dimension supérieure. |
- 29 mars 2011 – Sandrine Péché (Université Grenoble 1) : Universalité dans le bulk pour des matrices hermitiennes
| Résumé : On considère des matrices de covariance empirique $$M_N=frac1NXX^*$$, où X est une matrice de taille $Ntimes p$ ($p=gamma N$, $gammageq 1$) à entrées complexes dont les parties réelles et imaginaires sont i.i.d. de loi $mu$. Sous certaines hypothèses sur $mu$, on montre l’universalité des statistiques locales des valeurs propres dans le bulk. L’idée de la preuve consiste à montrer ce résultat d’abord pour des matrices de l’ensemble de Laguerre déformé ($mu$ s’écrit alors comme la convolée d’une probabilité $P$ avec une loi Gaussienne complexe de très petite variance) puis d’étendre ce résultat à des lois plus générales. |
- 22 mars 2011 – Arnaud Le Ny (Université Paris 11) : Marches aléatoires transientes en dimension 2
| Résumé : La Marche aléatoire Simple (MAS) est un objet probabiliste incontournable en théorie des probabilités à travers notamment la construction élémentaire du mouvement brownien qu’elle suscite ; elle constitue également un outil essentiel en mécanique statistique mathématique et en physique théorique. En 1921, Polya mit en évidence une dichotomie entre son comportement en dimension 1 ou 2, où elle visite infi-niment souvent tous les points de la droite ou du plan (récurrence), et en dimension 3, où les points de l’espace ne sont typiquement visités qu’un nombre -ni de fois (transience).Au cours de cet exposé, nous décrirons un modèle de marches aléatoires sur des versions orientées de $Z^2$ pour lesquelles la présence d’un aléa supplémentaire pour des orientations horizontales suffit à contrecarrer la récurrence et à rendre transiente la marche aléatoire simple. Au delà de cette propriété, nous décrirons des théorèmes limites non-standards pour cette MAS dans le cas où les orientations sont des variables aléatoires i.i.d. Pour décrire nos résultats, nous reviendrons d’abord sur certaines propriétés essentielles de la MAS sur les réseaux réguliers d-dimensionels $Z^d$, tandis qu’au cours de la description d’éléments de la preuve de la transience, nous décrirons certaines propriétés d’un modèle connexe, les marches aléatoires en scènes aléatoires. Pour terminer, nous évoquerons divers pistes d’études permettant d’affiner la description de cette marche bi-dimensionnelle mais transiente, à travers notamment du comportement asymptotique de son étendue (« range ») ou de son temps local, dans la veine des travaux de Dvoretzky-Erdös (1951) ou d’Erdös-Taylor (1960). |
- 15 mars 2011 – Julien Berestycki (Université Paris 6) : Le processus de point extremal du mouvement Brownien Branchant
| Résumé : It has been conjectured at least since a work of Lalley and Sellke that the branching Brownian motion seen from its tip (e.g. from its rightmost particle) converges to an invariant point process. The main goal of this talk is to present a proof of this fact which also gives a complete description of the limit object. The structure of this extremal point process turns out to be a certain Poisson point process with exponential intensity in which each atom has been decorated by an independent copy of an auxiliary point process. These results complement and validate some predictions by Brunet and Derrida.
Joint work with Eric Brunet, Elie Aidekon and Zhan Shi. |
- 1er mars 2011 – Bénédicte Haas (Université Paris Dauphine) : Limites d’échelle d’arbres aléatoires
| Résumé : On considère des suites d’arbres aléatoires enracinées non-ordonnées ($T_n$; $n$ $geq$ $1$) indexées par les feuilles ($T_n$ a $n$ feuilles) ou bien par les nœuds ($T_n$ a $n$ nœuds), satisfaisant la propriété suivante : sachant que $T_n$ privé de sa racine et des arêtes adjacentes est formé de p sous-arbres ayant $n_1$ $geq$ … $geq$ $n_p$ feuilles (resp. nœuds), ces sous-arbres sont indépendants, de lois respectives celles de $T_n_1$ ,…,$T_n_p$ . Sous une hypothèse naturelle, on montre qu’une telle famille, correctement normalisée, converge en loi vers un arbre continu aléatoire codant la généalogie d’un processus de fragmentation auto-similaire.Ces résultats nous permettent de démontrer la convergence des arbres de Pòlya (arbres uniformément distribués parmi les arbres enracinés non-ordonnés) normalisés vers l’arbre brownien, résultat conjecturé par Aldous. Ils nous permettent également de caractériser les limites d’échelle de diverses familles d’arbres se construisant récursivement et de récupérer les résultats de convergence, établis par Aldous et Duquesne, des arbres de Galton-Watson conditionnés vers les arbres brownien et stables.Il s’agit d’un travail en collaboration avec Grégory Miermont. |
- 8 février 2011 – Bruno Jaffuel (Université Paris 6) : marches aléatoires branchantes sur $R$ avec barrière absorbante
| Résumé : Les marches aléatoires branchantes généralisent à la fois deux processus à temps discret très classiques : le processus de Galton-Watson et les marches aléatoires. Elles modélisent l’évolution d’une population qui évolue se reproduit, et où chaque individu à une position (ici sur l’axe réel) proche de celle de son père. Le déplacement d’un individu par rapport à son père est aléatoire, et sa loi ainsi que la loi de reproduction va déterminer la loi du processus.On s’intéresse à un modèle de sélection : une barrière tue tous les individus qui se naissent au dessous avant qu’ils ne se reproduisent, de sorte que la position mesure l’aptitude d’un individu à survivre. On étudie en particulier la question de la survie ou de l’extinction du processus en fonction de la position de la barrière, et on cherche la position « limite » de la barrière entre ces deux cas. En dehors de l’intérêt propre du modèle avec absorption, son étude apporte des informations sur les trajectoires de la marche branchante (sans barrière). |
- 1er février 2011 – Stéphane Girard (Inria Rhône-Alpes) : Estimation non-paramétrique de quantiles extrêmes conditionnels
| Résumé : Nous considérons le problème de l’estimation de quantiles lorsque la variable d’intérêt est mesurée avec une covariable, et dans le cas où l’ordre du quantile tend vers zéro lorsque la taille de l’échantillon tend vers l’infini. Ces quantiles sont appelés quantiles extrêmes conditionnels et sont susceptibles d’être situés au-delà de l’échantillon. Nous étudions dans quelle mesure il est possible de les estimer à partir d’une inversion de l’estimateur à noyau de la fonction de répartition conditionnelle. Les résultats asymptotiques seront illustrés par des simulations d’une part et sur des données de pluviométrie d’autre part. |
- 25 janvier 2011 – Gaël Ceillier (Univ. Grenoble) : Étude de la filtration naturelle d’un processus stationnaire
| Résumé : Le caractère standard ou non standard est un invariant important dans la théorie des filtrations à temps discret négatif. Nous étudions les filtrations naturelles de processus stationnaires à valeurs dans un ensemble fini. Récemment Bressaud et al. ont donné une condition nécessaire pour que la filtration naturelle d’un tel processus $(X_k)_k$ soit standard quand le cardinal de l’espace d’états vaut 2. Nous donnons une condition suffisante de standardité plus fine dans le cas ou l’espace d’états à deux éléments et valable pour un espace d’état fini quelconque. |
- 11 janvier 2011- Cécile Mailler (LMV) : Le modèle des arbres croissants pour la représentation de fonctions booléennes
| Résumé : Le but de cette étude est de définir une loi de probabilité sur l’espace des fonctions booléennes à $k$ variables. Des lois sur cet espace sont déjà définies dans la littérature, en commençant par la loi uniforme (étudiée par Shannon, 1949). Nous nous intéressons plus particulièrement à des lois définies via la représentation des fonctions booléennes par des arbres binaires planaires étiquetés. De tels modèles ont été étudiés notamment dans un article de Chauvin et al. (c.f. [CFGG], 2004) : le modèle des grands arbres et le modèle de Galton-Watson. Nous définissons une nouvelle loi de probabilités sur les arbres binaires planaires inspirée du modèle de croissance des arbres binaires de recherche (ABR), étudions la loi induite sur l’espace des fonctions booléennes, et la comparons aux autres lois déjà étudiées. Nous utilisons deux méthodes pour étudier la loi des arbres croissants : la combinatoire analytique (c.f. [Flajolet-Sedgewick]), et une méthode probabiliste via les arbres de Yule. Ce travail a été réalisé durant mon stage de Master sous la direction de mes deux encadrantes Brigitte Chauvin et Danièle Gardy. |
- 4 janvier 2011 – Cyril Roberto (Université de Marne-La-Vallée) : Quelques résultat de convergence pour le modèle « est »
| Résumé : Le modèle « est » a été introduit par certains physiciens pour modéliser le phénomène de transition vitreuse. Il s’agit d’un modèle de spins en dimension 1, qui évolue de manière stochastique, sous une certaine contrainte. La mesure d’équilibre est très simple (il s’agit d’une mesure de Bernoulli produit), le phénomène intéressant étant encodé dans la dynamique. Après avoir introduit ce modèle, et plus généralement d’autres modèles avec contraintes, nous donnerons quelques résultats sur la vitesse de convergence vers l’équilibre, et tenterons de donner des éléments, au moins heuristiques, de preuves. (Il s’agit de plusieurs travaux en collaboration avec Cancrini, Faggionato, Martinelli et C. Toninelli). |
- 14 décembre 2010 – Gérard Defives (Univ. de los Andes, Mérida, Venezuela) : Mathématique en situation pluridisciplinaire et tropicale
- 30 novembre 2010.- Brigitte Chauvin (LMV) : Arbres de contexte, chaînes de Markov de longueur variable et sources dynamiques
| Résumé : Les séquences aléatoires de lettres, que l’on peut penser être A,C,G,T pour des séquences biologiques ou 0, 1 pour des bits, peuvent être vues comme des chaînes au sens probabiliste ou comme des sources au sens de la théorie de l’information. Nous avons souhaité éclaircir ce lien pour les Chaînes de Markov à Longueur Variable (VLMC). C’est pourquoi, après avoir établi un cadre probabiliste pour les VLMC, nous montrons que toute VLMC est une source dynamique, dont nous construisons explicitement la transformation. Sur deux exemples (le « peigne » et le « bambou fleuri »), nous trouvons une condition nécessaire et suffisante d’existence et d’unicité de mesure stationnaire pour la VLMC. Ces deux exemples sont détaillés de telle sorte que sont fournies les séries de Dirichlet associées ainsi que les fonctions génératrices d’occurrence d’un motif. |
- 23 novembre 2010 – Florence Merlevède (Univ. Marne La Vallée) : Inégalités de Rosenthal pour des variables dépendantes : exemples et applications
| Résumé : Dans cet exposé, des inégalités de moments de type Rosenthal pour les moments d’ordre p >2 du maximum des sommes partielles de suites stationnaires sont présentées. Comme dans les résultats récents de Peligrad, Utev et Wu (2007) ou de Rio (2009), les estimées des moments sont exprimées en termes de conditions projectives. Les résultats incluent alors les martingales et leurs généralisations. Les preuves des résultats sont essentiellement basées sur une nouvelle inégalité maximale généralisant celle de Doob pour les martingales, et sur une induction sur les diadiques. |
- 16 novembre 2010 – Reda Sahnoun (LMV ) : Sur les urnes de Polya triangulaires et applications à l’algorithmique
| Résumé : Les processus de Pólya sont des marches aléatoires à temps discret dans $R_d$, généralisations naturelles des urnes de Pólya-Eggenberger. Dans ce dernier modèle, une urne peut contenir des boules de d différentes couleurs et une matrice (déterministe) à coefficients entiers relatifs décrit les règles de remplacement après chaque tirage. De nombreuses situations issues de l’informatique (structures arborescentes) se modélisent par ces objets. Le cas des processus d’urnes dont la matrice de remplacement est triangulaire est singulier par leur caractère réductible. L’étude est fait en temps discret; on établit l’asymptotique en loi du nombre de boules de couleur donnée. Dans le cas de deux couleurs, ces convergences sont presque sures et on approfondit les propriétés des lois limites ; on fait en particulier le calcul de la queue de ces distributions. En dimension supérieure, on établit la convergence presque sûre et on identifie les lois limites pour certaines familles de matrices de remplacement. Les cas étudiés permettent de dégager la combinatoire complexe du cas général. |
- 5 octobre 2010 – Emmanuel RIO (LMV) : Constantes asymptotiques pour les distances de Wasserstein dans le théorème central limite
Séminaires 2010-2011