Séminaires 2009-2010

Liste des séminaires

• 8 juin 2010 – Brigitte Chauvin (Univ. de Versailles, LMV) : Les lois limites des urnes de Polya à deux couleurs sont auto-décomposables

Résumé : Quand on obtient les lois limites des urnes de de Polya à deux couleurs, on voit immédiatement qu’elles sont infiniment divisibles, parce que limites de processus de branchement multitypes. En fait, elles sont dans une famille de lois « entre » les lois infiniment divisibles et les lois stables : les lois autodécomposables, qui s’écrivent pour tout $\alpha \in]0,1[X = (en loi) \alpha X + X_\alpha$. Travail commun avec Nicolas Pouyanne

• 18 mai 2010 – Jean Bérard (Univ. de Lyon I) : Probabilité de survie d’une marche aléatoire branchante tuée en-dessous d’une ligne

• 13 avril 2010 – Nicolas Fournier (Univ. Paris 12) : Sur le modèle des feux de forêt

Résumé : Nous considérons un modèle de la mécanique statistique: le modèle des feux de forêt. Sur chaque site de *Z*, des graines et des allumettes tombent aléatoirement. Quand une graine tombe sur un site vide, un arbre pousse immédiatement. Quand une allumette tombe sur un site occupé, un feu brûle immédiatement toute la composante connexe occupée autour de ce site. Nous nous intéressons à l’asymptotique des feux rares, où les allumettes tombent très rarement. On suppose que graines tombent suivant avec taux 1 (environ une graine par site et par unité de temps) et que les allumettes tombent avec taux *λ* (environ *λ** *allumettes par site et par unité de temps). Nous montrons que lorsque *λ* tend vers *0*, le processus converge (correctement renormalisé). Le processus limite est très original mais assez simple, puisqu’il peut être construit /graphiquement/, et donc est parfaitement simulable. La renormalisation consiste en une accélération du temps par un facteur *log(1/**λ**)* et en une réduction de l’espace par un facteur *λ** log(1/**λ**)*. Nous en déduisons l’existence d’une taille critique pour les amas occupés (qui est bien celle conjecturée par les physiciens), et des estimations asymptotiques (quand *λ* tend vers *0*) de la loi des composantes connexes occupées et des longueurs de corrélation.

• 6 avril 2010 – Quansheng Liu (Univ.de Bretagne Sud, Vannes) : Inégalités exponentielles de concentration pour les martingales et les polymères dirigés en milieu aléatoire

Résumé : Nous montrons d’abord des inégalités exponentielles de concentration pour les martingales, qui sont optimales dans le cas de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, et qui étendent les inégalités de Bernstein et de Hoeffding-Azuma. Nous utilisons ensuite ces inégalités pour établir des inégalités exponentielles de concentration pour l’énergie libre des polymères dirigés en milieu aléatoire; nous en déduisons des bornes supérieures pour sa vitesse de convergence, et une expression de l’énergie libre en terme de certaines cascades multiplicatives de Mandelbrot généralisées.

• 16 mars 2010 – Françoise Pène : Quelques propriétés du gaz de Lorentz

• 2 mars 2010 – Alexis Devulder (Univ. Versailles, LMV) : Phénomènes de persistance pour certaines fonctionnelles additives de la marche de Sinai

Résumé : On considère une marche aléatoire en milieu aléatoire, unidimensionnelle, et récurrente (marche de Sinai). On détermine asymptotiquement la probabilité « annealed » que la moyenne de ses positions reste positive de l`instant 1 à l`instant N. On utilise pour cela les résultats de Cheliotis sur le nombre de changements de signe des fonds de vallée d`un potentiel Brownien, obtenus suite aux travaux des physiciens Le Doussal, Monthus et Fisher.

• 16 février 2010 – Marie Albenque (Ecole Polytechnique) : Convergence de grandes triangulations en pile

Résumé : Une « triangulation en pile » est obtenue de manière récursive par ajout de sommets et d’arêtes à partir d’un triangle initial. Une grande partie de mon exposé sera consacrée à la convergence sous la loi uniforme des triangulations en pile renormalisées vers l’arbre continu d’Aldous puis j’évoquerai d’autres résultats concernant notamment la convergence locale sous la loi uniforme et le comportement sous la loi induite par la construction récursive de telles triangulations.

• 26 janvier 2010 – Sébastien Gouezel (Université de Rennes) : Principe d’invariance presque sûr par une méthode spectrale

Résumé : On dispose d’un certain nombre de méthodes (principalement des techniques de martingale) pour démontrer le principe d’invariance presque sûr (un renforcement très fort du théorème central limite) pour des processus stationnaires vérifiant certaines propriétés de mélange. Malheureusement, nombre de processus stationnaires issus des systèmes dynamiques vérifient un autre type de mélange (portant uniquement sur les fonctions caractéristiques), auquel les techniques précédentes ne s’appliquent pas. Je décrirai comment démontrer le principe d’invariance presque sûr dans ce cadre (pour des processus à valeurs dans $R^d$, avec de bons termes d’erreur).

• 19 janvier 2010 – Jamal Najim (ENST PARIS) : TLC pour certaines fonctionnelles du spectre de grandes matrices aléatoires non centrées

Résumé : Considérons le modèle matriciel X+A où X est une matrice de taille $N\times n$ à entrées i.i.d. et A est une matrice déterministe. Une telle matrice modélise un certain type de canal en communications sans fil, et l’information mutuelle, indicateur de performance habituel associée à ce canal, s’exprime en fonction du spectre de (X+A)(X+A)*.L’objectif de la présentation est de décrire les fluctuations de cette fonctionnelle, i.e. d’établirun TLC quand les dimensions N,n de la matrice tendent vers l’infini à la même vitesse. La spécifité de ce modèle est la présence d’une matrice déterministe A qui rend délicate l’application de techniques utilisées dans le cas centré.Travail en cours, en collaboration avec W. Hachem, M. Kharouf, J. Silverstein. Jamal Najim

• 12 janvier 2010 – François Chapon (Univ. Paris 6) : Valeurs propres à droite de matrices gaussiennes à entrées quaternioniques

Résumé : On étudie la convergence de la mesure empirique des valeurs propres d’un modèle matriciel dont les entrées sont des gaussiennes quaternioniques. Pour cela, on s’intéresse à la notion de valeurs propres à droite, ce qui permet de se ramener dans un premier temps à l’étude, via la théorie du potentiel logarithmique, d’un modèle matriciel complexe dont la loi empirique converge vers la mesure circulaire.

• 5 janvier 2010 – François Caron (INRIA, Bordeaux) : Two-sample Bayesian nonparametric hypothesis testing

Résumé : This presentation describes Bayesian nonparametric procedures for two-sample hypothesis testing. Namely, given two sets of samples $y^1$ iid $F^1$ and $y^2$ iid $F^2$, with $F^1, F^2$ unknown, we wish to evaluate the evidence for the null hypothesis $H_0$:F $F^1 = F^2$ versus the alternative. The method is based upon a nonparametric Polya tree prior centered either subjectively or using an empirical procedure. We show that the Polya tree prior leads to an analytic expression for the marginal likelihood under the two hypotheses and hence an explicit measure of the probability of the null Pr($H_0 \mid y^1,y^2$).

• 15 décembre 2010 – Marie Théret (ENS, Ulm) : Flux maximal à travers un domaine de $(R)^d$ en percolation de premier passage

Résumé : Nous considérons le modèle de percolation de premier passage sur le graphe renormalisé $Z^d/n$ : on associe indépendamment à chaque arête e du graphe une variable aléatoire t(e) à valeurs dans $R^+$. Nous interprétons e comme un tube, et t(e) comme la quantité maximale d’eau qui peut traverser le tube par seconde. Nous considérons donc un modèle de roche poreuse. Il en découle une définition naturelle du flux maximal à travers une partie du graphe, représentant un morceau de roche, entre deux régions disjointes de son bord. Nous étudions le comportement asymptotique de ce flux maximal pour n grand : nous prouvons qu’il satisfait une loi des grands nombres en étudiant ses grandes déviations par au-dessus et par en-dessous.

• 24 novembre 2009 – Efoevi Koudou (Univ. Nancy) : Quelques propriétés d’indépendance du type Matsumoto-Yor

Nous définissons les fonctions de Matsumoto-Yor : les fonctions f strictement décroissantes sur (0,∞), à valeurs dans (0,∞) ayant la propriété suivante : il existe des variables aléatoires positives X et Y indépendantes telles que les variables U :=f(X+Y) et V :=f(X)-f(X+Y) soient indépendantes. Il résulte de travaux de Matsumoto, Yor, Letac et Wesolowski que la fonction f définie par f(x)=1/x a cette propriété et que les lois des variables associées sont nécessairement la loi gaussienne inverse pour X et la loi gamma pour Y. Ce travail caractérise la famille des fonctions de Matsumoto-Yor suffisamment régulières et ayant un comportement spécifique en 0 et à l’infini. Les densités de probabilité correspondantes sont précisées.

• 17 novembre 2009 – Hamdi Fathallah (Univ. Versailles, LMV) : Théorèmes limites pour des martingales vectorielles en temps continu et applications statistiques

Résumé : Dans ce travail, on établit des résultats autour du théorème limite presque-sûre pour des martingales vectorielles quasi-continues à gauche, en temps continu, à croissance explosive et mixte. Nous appliquons les résultats obtenus à un modèle de diffusion multidimensionnel mixte puis au modèle d’Ornstein-Uhlenbeck bivarié utilisé en modélisation biologique et en mathématiques financières.

• 10 novembre 2009 – Vahagn Nersesyan (Univ. Versailles, LMV) : Contrôle et mélange pour l’équation de Schrödinger

Résumé : On considère l’équation de Schrödinger avec un potentiel qui a une amplitude aléatoire dépendant du temps. En utilisant quelques propriétés de contrôlabilité, nous montrons que le système admet au plus une mesure invariante.

• 3 novembre 2010 – Amandine Veber (ENS Ulm et Univ. Paris 11) : Mouvement brownien branchant parmi des obstacles aléatoires

Résumé : Un mouvement brownien branchant est une collection finie de particules qui se déplacent dans $R^d$ suivant la loi d’un mouvement brownien et meurent chacune à taux 1 en donnant naissance à un nombre aléatoire de nouvelles particules, d’espérance 1. Ces particules sont en outre tuées à un taux de faible dans des obstacles aléatoires disposés autour des points d’un processus ponctuel de Poisson. On s’intéresse alors à la probabilité que le mouvement brownien branchant partant d’une seule particule en 0 et évoluant dans ce milieu aléatoire atteigne une distance $R$ de l’origine, lorsque R tend vers l’infini et e tend vers 0. La réponse à cette question utilise un résultat d’homogénéisation « quenched » montrant que le mouvement brownien branchant tué à taux e dans les obstacles, renormalisé de manière adéquate, converge en loi lorsque e tend vers 0 vers un super-mouvement brownien tué à un taux constant dans $R^d$.

• 13 octobre 2009 – Guillaume Voisin (Univ. Orléans) : Etude du temps local d’une diffusion en milieu Lévy stable

Résumé : Je considère une diffusion aléatoire dans un milieu Lévy stable. On montre que le processus des temps locaux renormalisé et recentré au minimum de la vallée standard de hauteur log t, converge en loi vers une fonctionnelle de deux processus de Lévy conditionnés à rester positifs indépendants. Pour démontrer ce résultat, on montre que la loi de la vallée standard est proche de celle de deux processus de Lévy conditionnés à rester positifs concaténés en 0. On obtient également la loi limite du supremum du temps local renormalisé.

• 29 septembre 2009 – Djalil Chafaï (Univ. Paris -Est Marne la Vallée) : Spectre de matrices markoviennes aléatoires

Résumé : On considère le comportement asymptotique de l’opérateur de transition de modèles de conductances aléatoires sur le graphe complet lorsquele nombre de sites tend vers l’infini, du point de vue du spectre et du vecteur invariant.