5 juin 2012
Cette journée est organisée en occasion de la visite de J.M. Aroca et F. Cano à Versailles, dans le cadre des échanges Erasmus entre l’UVSQ et l’université de Valladolid, avec le soutiens de l’ANR q-Diff et le laboratoire de Mathématiques de Versailles.
Organisateurs : V. Cossart, L. Di Vizio
Programme :
En salle 2205 (bat. Fermat) :
- 9h30 : accueil des participants, café.
- 10h-11h : G. Duval (Ruen) : Exemples d’extensions Fortement Normales.
- 11h30-12h30 : J.M. Aroca (Valladolid) : Valuations et équations différentielles.
dans l’amphi F (Bat. Fermat) :
- 14h30-15h30 : J.-P. Ramis, J. Sauloy (Toulouse) : Le probleme inverse en théorie de Galois aux q-différences.
- 16h-17h : F. Cano (Valladolid) : Semi-transcendance des feuilles de feuilletages holomorphes.
Résumés des exposés :
J.M. Aroca (Valladolid) : Valuations et équations différentielles
Le but de cet exposé est de présenter trois façons d’appliquer la théorie de valuations à l’étude d’équations différentielles.
1) Le théorème de Kaplansky offre la possibilité de développer en série les éléments d’un corps muni d’une valuation. Un théorème de Kaplansky « différentiel » ouvre la voie à l’utilisation de méthodes de calcul basées sur le polygone de Newton, afin de décrire les solutions d’une équation différentielle.
2) Les valuations représentent des suites d’éclatements. Dans certains cas on sait caractériser les valuations qui correspondent à des suites d’éclatements le long d’une courbe solution d’un champ de vecteurs.
3) La surface de Riemann d’une extension de corps fournit non seulement des objets algébriques mais aussi des objets transcendants. Ceci explique pourquoi la théorie de valuations constitue un cadre bien plus adapté à l’étude d’équations différentielles que la théorie des schémas.
Nous tenterons de faire un exposé le moins technique possible, afin de le rendre accessible aux non spécialistes.
F. Cano (Valladolid) : Semi-transcendance des feuilles de feuilletages holomorphes.
G. Duval (Rouen) : Exemples d’extensions Fortement Normales
Depuis les travaux de Kolchin et de Kovacic sur les extensions fortement normales,
nous possédons beaucoup de résultats de structure sur ces dernières, mais tres peu d’exemples en dehors des extensions de Picard-Vessiot et des extension elliptiques qui correspondent à l’équation de la fonction $P$ de Weirstrass pour laquelle le groupe de Galois différentiel s’identifie avec la courbe elliptique associée.
Nous nous proposons d’exhiber de nouvelles equations differentielles non lineaires, pour lesquelles le groupe de Galois est une variété Abelienne de dimension superieure ou égale a deux.
Nous tenterons notamment de produire des exemples issus de la mécanique Hamiltonienne.
Ceci est un travail en cours pour lequel nous sommes loin de posséder des résultats définitifs.
J.-P. Ramis, J. Sauloy (Toulouse) : Le probleme inverse en théorie de Galois aux q-différences
Dans un travail commun avec Jean-Pierre Ramis, nous avons obtenu une description essentiellement complète du groupe de Galois local des équations aux q-différences à pentes entières. Cette description permet de résoudre une partie substantielle du problème inverse local et global (dans ce dernier cas, a` l’aide d’un travail antérieur sur le groupe de Galois local fuchsien).