Maria Abad Aldonza soutient sa thèse,  intitulée « L’effet Hall quantique multicouche à travers la formule de Grothendieck-Riemann-Roch » encadrée par Dimitri Zvonkine, le mardi 23 juin, 14h, bâtiment Fermat, amphi I.

L’effet Hall quantique multicouche à travers la formule de Grothendieck-Riemann-Roch

L’effet Hall quantique fractionnaire est un phénomène dans lequel la conductance transverse d’un gaz d’électrons bidimensionnel soumis à de forts champs magnétiques ne prend que des valeurs multiples rationnels de \(e^2/h\), où \(e\) est la charge élémentaire et \(h\) est la constante de Planck. Les états quantiques de Hall multicouche sont des fonctions d’onde d’essai qui modélisent les systèmes quantiques dans lesquels les électrons sont confinés à \(k\) couches, le couplage étant encodé par une matrice symétrique \(K\). Ces états ont jusqu’ici été étudiés sur des surfaces de genre 0 et 1 ; en collaboration avec F. Dupont, nous étendons l’analyse aux surfaces de Riemann compactes de genre arbitraire \(g\). Un système multicouche est déterminé par un quadruplet \((K,g,d,\vec{n})\), où \(d\) est le flux magnétique total et \(\vec{n}\) donne le nombre de particules par couche. Je montrerai que les états quantiques de Hall multicouche forment un fibré vectoriel holomorphe au-dessus de la composante de degré \(d\) du groupe de Picard de la surface, et expliquerai comment le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch permet de calculer explicitement son caractère de Chern. La dégénérescence de l’état fondamental et la conductance de Hall sont respectivement les parties de degré 0 et de degré 1 du caractère de Chern. Si le calcul est mené pour tout quadruplet \((K,g,d,\vec{n})\), je me concentrerai sur le cas \(K\vec{n}=\vec{d}-(g-1)\vec{K}\), qui est le cadre dans lequel la plupart des conjectures physiques sont formulées.

The multilayer quantum Hall effect via the Grothendieck-Riemann-Roch formula

The fractional quantum Hall effect is a phenomenon in which the transverse conductance of a two-dimensional electron gas under strong magnetic fields only takes values that are rational multiples of \(e^2/h\), where \(e\) is the elementary charge and \(h\) is the Planck constant. The multilayer quantum Hall states are trial wavefunctions that model quantum Hall systems in which electrons are confined to \(k\) layers, with coupling encoded by an integer symmetric matrix \(K\). While these states have been studied on surfaces of genus, this work, joint with F. Dupont, extends the analysis to compact Riemann surfaces of arbitrary genus  \(g\). A multilayer system is determined by a quadruple \((K,g,d,\vec{n})\), where \(d\) is the total magnetic flux and \(\vec{n}\) gives the particle numbers per layer. I will show that the multilayer quantum Hall states form a holomorphic vector bundle over the degree \(d\) component of the Picard group of the surface, and explain how the Grothendieck-Riemann-Roch theorem allows us to compute its Chern character explicitly. The ground-state degeneracy and Hall conductance are the degree 0 and degree 1 parts of the Chern character, respectively. While the computation is carried out for any quadruple \((K,g,d,\vec{n})\), I will focus on the case where \(K\vec{n}=\vec{d}-(g-1)\vec{K}\), since this is the setting in which most conjectures in the physics literature are formulated.