Guillaume Rialland soutient sa thèse,  intitulée « Construction et dynamique des solitons et multi-solitons pour les équations de Schrödinger non-linéaire et de Zakharov » encadrée par Yvan Martel, le mercredi 8 juillet, 14h, bâtiment Fermat, amphi I.

Résumé : Dans un premier temps, cette thèse étudie la stabilité asymptotique des petits solitons pour une des équations de Schrödinger 1D proches du cas cubique, avec une perturbation semi-linéaire. Nous démontrons que, suivant la perturbation, le système linéarisé autour d’un soliton possède des fonctions propres non triviales (appelées modes internes) associées à une valeur propre imaginaire pure : ces fonctions sont un obstacle potentiel à la stabilité asymptotique. Nous établissons la stabilité asymptotique des petits solitons, en exigeant une hypothèse supplémentaire (la “règle d’or de Fermi”) dans le cas où il existe un mode interne.
Nous étudions ensuite le système de Zakharov 1D, un couplage Schrödinger-ondes qui peut se voir comme une autre perturbation de l’équation de Schrödinger cubique. Nous démontrons l’absence de mode interne et de résonance pour les petits solitons.

Dans un second temps, cette thèse s’intéresse à la construction de solitons et multi-solitons pour le système de Zakharov 1D et 2D. En dimension 1, les solitons de ce système sont explicites et leur stabilité orbitale est connue depuis les années 1990. Nous construisons ici des multi-solitons pour ce système, c’est-à-dire des solutions du système se comportant asymptotiquement comme une somme de solitons indépendants se propageant à différentes vitesses.
En dimension 2, nous démontrons l’existence d’ondes progressives pour le système de Zakharov pour des vitesses suffisamment petites. Ces solitons sont proches du soliton de Schrödinger et nous étudions leur comportement asymptotique.