Résumé : Dans les années 90, Serre a initié un programme de recherche autour de la probabilité qu’une équation choisie aléatoirement au sein d’une famille possède une solution rationnelle. Par exemple, il démontra que 0% des coniques diagonales possèdent un point rationnel. Très peu de familles ont été étudiées à ce jour, bien qu’une conjecture due à Loughran–Smeets prédise un équivalent asymptotique dans certains cas. Dans l’esprit de cette conjecture, je vais expliquer comment, étant donné $F \in \Z[s,t]$ un polynôme homogène irréductible de degré 2 et $L/ \Q$ un corps de nombre abélien dont l’anneau des entiers est principal, on peut estimer (en ordre de grandeur) la proportion de F(s,t) qui s’écrivent comme la norme d’un élément de L. La méthode utilisée repose sur des techniques de théorie analytique des nombres comme le crible et la formule de Perron, ainsi que sur de la géométrie des nombres.

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Abstract: In the 90s, Serre initiated a research program around the probability that an equation randomly chosen within a family has a rational solution. For example, he proved that 0% of diagonal conics have a rational point. Very few families have been studied to date, although a conjecture due to Loughran–Smeets predicts an asymptotic formula in some cases. In the spirit of this conjecture, I will explain how, given $F \in \Z[s,t]$ an irreducible homogeneous polynomial of degree 2 and $L/ \Q$ an abelian number field whose ring of integers is a PID, we can estimate (in order of magnitude) the proportion of F(s,t) that are written as the norm of an element of L. The method used is based on techniques from analytic number theory such as the sieve and Perron’s formula, as well as on geometry of numbers.