Résumé : La théorie de Yang-Mills est une théorie quantique des champs (QFT) qui vise à décrire les interactions entre les particules élémentaires. Comme toute QFT, elle peut s’exprimer à l’aide d’intégrales de chemins de Feynman : des intégrales par rapport à des « mesures de probabilité » formelles sur des espaces de dimension infinie, qui, dans ce cas, correspondent à l’espace des connexions modulo le groupe de jauge d’un fibré principal. La construction mathématique rigoureuse de ces mesures est souvent un véritable défi.

Dans cet exposé, nous commencerons par une brève introduction à la théorie de Yang–Mills et à ses observables. Nous verrons ensuite comment, en dimension 2, cette mesure peut être construite rigoureusement comme la loi d’un processus de déplacements parallèles aléatoires, suivant les travaux de Driver, Lévy, Sengupta, etc. Enfin, nous aborderons les travaux plus récents de Chevyrev, qui définissent cette mesure comme la loi d’une variable aléatoire prenant ses valeurs dans un espace de connexions distributionnelles bien choisi.