Tirons uniformément au hasard une permutation de taille N et intéressons-nous à des observables comme la longueur de la plus longue sous-suite croissante, le nombre de descentes, le nombre de cycles d’une taille donnée etc. Le comportement asymptotique de ces observables quand N devient très grand est bien compris. En particulier, il est facile de montrer que la loi jointe des petits cycles est asymptotiquement poissonienne. Si on considère maintenant non plus une permutation, mais un mot en plusieurs permutations uniformes indépendantes, on sait, par des travaux de Nica, Puder et al.  que le comportement asymptotique des petits cycles dépend des propriétés algébriques du mot considéré.

 Dans cet exposé, je rappellerai le cas uniforme et, si le temps le permet, je présenterai une généralisation aux classes de conjugaisons du groupe symétrique.

 Cet exposé est basé sur un travail avec Mylène Maïda.