Un appariement invariant entre deux processus ponctuels stationnaires est une application bijective entre les processus dont la loi est invariante par translation. L’optimalité d’un tel appariement est étudiée sous l’angle de la distribution de la distance X entre deux points typiquement appariés, par exemple le cas extrême où les deux processus sont des réseaux translatés donne une variable X uniformément bornée. On étudie en particulier la possibilité que E[w(X)] soit finie pour des fonctions w bien choisies. Par une inégalité triangulaire, il est suffisant d’étudier le cas où l’un des processus est un réseau translaté. On verra par exemple que pour le processus de Poisson en dimension 2, ou tout autre processus ‘standard’, E[X] est infinie mais pas E[X/ln(X)^2]. On s’intéresse particulièrement au cas des processus hyperuniformes, qui sont censés présenter un arrangement régulier à grande échelle, de manière analogue à un réseau, et qui sont de grande importance en théorie des matrices aléatoires et en physique statistique. On montre en dimension 2 qu’ils possèdent effectivement de meilleures propriétés de transport que les processus standard, dans le sens où l’on peut montrer que E[X^2] est finie.

Notre étude s’appuie sur l’inégalité de Bobkov-Ledoux pour montrer des bornes sur la distance de transport en volume fini, et des arguments de compacité pour passer en volume infini.

Travail en collaboration avec Yogeshwaran D.