Résumé :

Nous étudions le développement du logarithme de la fonction génératrice \(F(t)= \log {\mathbb E} \exp(tX)\) de la variable aléatoire
\(X\) le nombre de triangles dans les graphes aléatoires de Erdös-Rényi. Les termes de ce développement sont donnés par les cumulants de \(X\). En utilisant la technique des diagrammes,
nous montrons que le terme principal du \(cum_k(X)\) peut être associé avec les « tree-type diagrams » composés de $k$ éléments. Nous proposons une modification du code de Prüfer
pour compter le nombre \(N_k\) de tel diagrammes. Cela nous permet, en particulier, d’établir des théorèmes limites (de Poisson et/ou de Gauss) pour \(X\) lorsque la dimension
des graphes \(n\) tend vers l’infini.

Les résultats obtenus, d’un côté généralisent les résultats connus en théorie de graphes depuis les travaux de B. Bollobas, d’autre côté ouvrent le chemin pour étudier \(X\) dans des ensembles de graphes plus généraux que celui de Erdös-Rényi (modèles matriciels avec un source).

L’exposé présente une partie du travail basé sur les deux articles suivants :

– O. Khorunzhiy, On Connected Diagrams and Cumulants of Erdos-Renyi Matrix Models, Commun. Math. Phys. (2008) et

– O. Khorunzhiy, Enumeration of tree-type diagrams assembled from oriented chains of edges, Preprint arXiv:2207.00766