Résumé : Nous considérons une marche aléatoire aux plus proches voisins sur un arbre de Galton-Watson, en milieu aléatoire. Plus précisément, nous pondérons les arêtes de cet arbre par des v.a. i.i.d. positives, et nous considérons la marche aléatoire dont les probabilités de transition sont proportionnelles à ces poids.
Nous nous intéresserons dans cet exposé aux sommets les plus visités par la marche, en temps long. Nous montrerons un résultat de convergence du temps local de ceux-ci (i.e. le temps passé par la marche en les sommets les plus visités), dont l’énoncé dépend d’un paramètre caractéristique de l’environnement. Ceci permet d’établir l’existence de comportements très différents de la marche aléatoire selon le paramètre : dans le premier cas (« cas gaussien ») la mesure invariante de l’environnement dicte le comportement de ce temps local, alors que dans le second cas (« cas stable ») des principes de grandes déviations permettent à la marche de faire émerger des grands temps locaux en certains points qui la piègent.
Travail en collaboration avec X. Chen (Beijing Normal University)