Une extension récurrente des processus de branchement avec compétition en temps et espace continu, au-delà du point infini, est construite et étudiée. L’approche repose sur l’utilisation de relations de dualité pour les semi-groupes, qui permettent de transférer certaines propriétés du processus vers des diffusions unidimensionnelles. Grâce à cette correspondance, nous ramenons plusieurs résultats classiques des diffusions — tels que les tests de Feller, les lois stationnaires et la
mesure d’excursion — dans le cadre des processus de branchement à sauts positifs, offrant ainsi un nouvel éclairage sur les processus avec compétition en particulier le phénomène d’explosions locales. Le processus initial a été introduit par Lambert (AAP 2004) et l’exposé s’appuie sur deux travaux (Foucart EJP2019, POTA2025).