Nous considérons la marche de Sinai \((S_n)_{n\in\mathbb{N}}\) (marche aléatoire en milieu aléatoire récurrente sur \(\mathbb{Z}\)).
Nous prouvons un théorème limite local pour \((S_n)_{n\in\mathbb{N}}\) sous la loi annealed \(\mathbb{P}\).
Nous en déduisons notamment un équivalent pour la probabilité annealed \(\mathbb{P}(S_n=z_n)\) lorsque \(n\) tend vers l’infini, quand \(z_n=O\big((\log n)^2\big)\).

Dans ce but, nous développons et étudions une décomposition de la trajectoire du potentiel de la marche de Sinai, c’est à dire de certaines marches aléatoires avec des incréments i.i.d.
La preuve repose également sur la théorie du renouvellement, un argument de couplage, une analyse détaillée des environnements et trajectoires de la marche de Sinai satisfaisant \(S_n=z_n\), et utilise des estimations précises pour les marches aléatoires conditionnées à être positives.