Les travaux sous-jacent à cet exposé sont une collaboration avec Michael Vogelius d’une part, et d’une partie du travail de thèse d’Eleanor Gemida d’autre part.

Dans un domaine régulier borné Ω de ℝ^d, avec B₂:={x : ||x|| ≤ 2} ⊂ Ω, l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann associé à une fonction matricielle définie positive A ∈ L ^∞ (Ω ; ℝ ^{d × d} ) est défini par
\[
\Lambda_A : H^{\frac{1}{2}}(\partial \Omega) \to H^{-\frac{1}{2}}(\partial \Omega),
\]
\[
\phi \mapsto A \nabla u \cdot n \quad \text{où} \quad
\begin{cases}
– \text{div}(A \nabla u) = 0 & \text{dans } \Omega, \\
u = \phi & \text{sur } \partial \Omega.
\end{cases}
\]

Pour ρ ∈ ]0,1[, un masquage approché d’ordre ρ pour l’équation de conductivité est une fonction a_ρ ∈ L ^∞(Ω \ B₁; ℝ ^{d × d} ) telle que, pour tout γ dans L ^∞(B₁; ℝ ^{d × d} ), la conductivité définie par
\[
A_{\gamma,\rho} =
\begin{cases}
a_\rho & \text{dans } \Omega \setminus B_1, \\
\gamma & \text{dans } B_1,
\end{cases}
\]
vérifie
\[\|\Lambda_{A_{\gamma,\rho}} – \Lambda_{I_d}\| \leq C \rho^d\]
où C est indépendante de γ.
La méthode de camouflage par transformation a fourni une approche mathématique pour construire de tels masquages approchés. Le coefficient a_ρ est à la fois anisotrope et spatialement variable, et peut être interprété comme un matériau composite.

Dans cette présentation, nous discutons d’un critère d’optimalité des masquages approchés, et nous construisons masquages approchées isotropes par morceaux pouvant être construits par addition de matière en couches successives de trois matériaux différents.