Cet exposé porte sur l’analyse mathématique et numérique de systèmes d’EDP décrivant des écoulements de fluides couplés à un transfert thermique, en présence de conditions aux limites non linéaires de type Tresca sur une partie du bord.

Dans un premier temps, je présenterai un modèle couplant les équations de Stokes à une équation de la chaleur, dans lequel la viscosité et la diffusivité thermique dépendent de la température. Le modèle prend également en compte un comportement d’adhérence-glissement du fluide sur une partie de la paroi, décrit par une condition de Tresca faisant intervenir un seuil de contrainte tangentielle. Les principaux résultats concernant l’existence et l’unicité des solutions seront ensuite abordés, ainsi que l’approximation du problème par éléments finis. La résolution numérique repose notamment sur une stratégie de découplage du système et sur une méthode de Lagrangien augmenté de type ADMM pour traiter la condition de Tresca.

Je présenterai ensuite une extension au système de Navier–Stokes couplé à l’équation de la chaleur, permettant de prendre en compte les effets d’inertie du fluide à travers le terme convectif non linéaire. Les principaux résultats d’analyse et d’approximation numérique seront exposés et illustrés par quelques simulations.

Enfin, j’aborderai l’analyse a posteriori de l’erreur pour le problème de Stokes avec condition de Tresca, avec pour objectif le contrôle de l’erreur numérique et l’adaptation du maillage.