L’assimilation de données vise à combiner de manière optimale les modèles dynamiques des systèmes physiques avec les mesures disponibles afin d’estimer l’état ou les paramètres du système. Dans de nombreuses applications, l’état ou l’espace d’observation est constitué de données de type contour, plus précisément de courbes fermées. Bien qu’il y ait eu des tentatives pour inclure ce type d’informations dans des retours d’état afin de formuler des observateurs de Luenberger pour de tels systèmes, les méthodes d’assimilation séquentielle des données les plus classiques, notamment le filtre de Kalman et ses extensions non linéaires, sont formulées exclusivement dans des espaces euclidiens et ne sont pas adaptées à ces configurations.

Dans cette présentation, nous proposons un cadre déterministe pour le filtrage optimal sur les variétés. À partir d’un modèle dynamique en temps continu avec des observations en temps discret d’une trajectoire réelle, nous introduisons une généralisation en variété du filtre de Mortensen en temps discret. L’estimateur optimal est caractérisé par une fonction de valeur, qui est la solution d’une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman définie sur la variété d’état. Nous dérivons ensuite une formulation cohérente en temps continu ainsi qu’une discrétisation spatiale appropriée.

Afin d’adapter le coût de calcul de cet algorithme pour des cas d’application en ingénierie, nous proposons une approximation quadratique de la fonction de valeur. Cela conduit naturellement à une extension du filtre de Kalman étendu (EKF) au cadre des variétés. Enfin, nous montrons comment le cadre proposé peut être étendu à l’assimilation de données dans l’espace des courbes en dotant cet espace d’une métrique riemannienne appropriée. Cela permet l’assimilation de données d’observation de contours, telles que les contours extraits d’images satellites dans la propagation des feux de forêt.

Ce travail est commun avec Gaël Le Ruz et Damiano Lombardi.