Résumé: La dépolymérisation (c’est-à-dire le raccourcissement progressif) de grosses molécules peut être modélisée par des équations discrètes, de type
Becker-Döring, ou par des équations continues. Dans de nombreuses applications, la nature dynamique des expériences, ainsi que leur échelle nanométrique, rend difficile l’estimation quantitative et même la simple connaissance des mécanismes en jeu.
Dans cet exposé, je parlerai de deux problèmes inspirés par des expériences menées par l’équipe d’Human Rezaei à l’INRAE sur la dépolymérisation de fibres de protéines PrP (responsables des maladies à prion).

En partant d’un modèle de dépolymérisation discrète, nous évaluons d’abord l’impact de l’utilisation d’approximations continues pour résoudre le problème d’estimation de l’état initial. Au deuxième ordre, le modèle asymptotique devient une équation d’advection-diffusion, où la diffusion est un terme correctif. Cette approximation est beaucoup plus précise, mais nous sommes confrontés à un compromis entre précision et stabilité : la reconstruction inverse s’avère « sévèrement mal posée ». Grâce à des inégalités de type Carleman et log-convexité, nous prouvons un résultat d’observabilité et une estimation d’erreur. Il s’agit d’un travail conjoint avec Philippe Moireau.

Un second travail, en collaboration avec Klemens Fellner, Mathieu Mezache et Juan Velazquez, a consisté en la conception puis l’analyse d’un modèle oscillant de dépolymérisation – le modèle classique ne permettant pas de rendre compte des oscillations soutenues observées expérimentalement.