Guillaume Rialland soutient sa thèse,  intitulée « Construction et dynamique des solitons et multi-solitons pour les équations de Schrödinger non-linéaire et de Zakharov » encadrée par Yvan Martel, le mercredi 8 juillet, 14h, bâtiment Fermat, amphi I.

Dans un premier temps, cette thèse étudie la stabilité asymptotique des petits solitons pour une des équations de Schrödinger 1D proches du cas cubique, avec une perturbation semi-linéaire. Nous démontrons que, suivant la perturbation, le système linéarisé autour d’un soliton possède des fonctions propres non triviales (appelées modes internes) associées à une valeur propre imaginaire pure : ces fonctions sont un obstacle potentiel à la stabilité asymptotique. Nous établissons la stabilité asymptotique des petits solitons, en exigeant une hypothèse supplémentaire (la “règle d’or de Fermi”) dans le cas où il existe un mode interne.
Nous étudions ensuite le système de Zakharov 1D, un couplage Schrödinger-ondes qui peut se voir comme une autre perturbation de l’équation de Schrödinger cubique. Nous démontrons l’absence de mode interne et de résonance pour les petits solitons.

Dans un second temps, cette thèse s’intéresse à la construction de solitons et multi-solitons pour le système de Zakharov 1D et 2D. En dimension 1, les solitons de ce système sont explicites et leur stabilité orbitale est connue depuis les années 1990. Nous construisons ici des multi-solitons pour ce système, c’est-à-dire des solutions du système se comportant asymptotiquement comme une somme de solitons indépendants se propageant à différentes vitesses.
En dimension 2, nous démontrons l’existence d’ondes progressives pour le système de Zakharov pour des vitesses suffisamment petites. Ces solitons sont proches du soliton de Schrödinger et nous étudions leur comportement asymptotique.

Esha Gupta soutient sa thèse,  intitulée « Théories de torsion et sous-catégories vastes dans les catégories dérivées tronquées » encadrée par Pierre-Guy Plamondon, le vendredi 19 juin, à 14h, bâtiment Fermat, amphi I.

Résumé : Soit \(Λ \) une algèbre de dimension finie sur un corps. D’après les résultats de la théorie de τ-basculement, on sait que les objets bousculants à 2 termes de \(Λ \) et les collections simplistes à 2 termes sont en bijection avec les classes de torsion fonctoriellement finies, les sémibriques finies à gauches, et les catégories vastes finies à gauches dans \(mod Λ\), ainsi que les classes de cotorsion complètes dans \(K^{[−1,0]}(projΛ)\). Dans cette thèse, nous introduisons les catégories des modules étendues et les notions de classes de torsion positives, sémibriques et catégories vastes dans ces catégories-là. Nous montrons une bijection entre les objects bousculants à d termes, les classes de torsion positives et fonctoriellement finies, les sémibriques finies à gauches, les catégories vastes finies à gauches, et les classes de cotorsion complètes et héréditaires. Nous proposons également un modèle géométrique pour les algèbres aimables, tel que les objets bousculants à d termes dans ces algèbres correspondent à certaines collections d’arcs sur une surface marquée avec une dissection admissible.

Pierre Varjabedian soutient sa thèse,  intitulée « Multivariate and Post-Quantum Cryptography » encadrée par Jacques Patarin, le vendredi 13 février à 14h (salle 301, 3ème étage du bâtiment Descartes).

Cette thèse a pour objet l’analyse de systèmes cryptographiques multivariés. Il s’agit de système à plusieurs variables à clé publique et post-quantiques qui utilisent la difficulté de résoudre des systèmes d’équations polynomiales dans un corps fini comme principe de sécurité. Il y a actuellement principalement deux familles de systèmes multivariés : Unbalanced Oil and Vinegar et Hidden Field Equation, qui reposent sur des principes légèrement différents. Nous avons traité ces deux familles et notre but a essentiellement été de trouver des améliorations ou des réparations de ces schémas. Ainsi dans un premier temps nous avons développé HFE IP- qui permet d’utiliser HFE en signature en évitant la plus récente attaque dite Min-Rank S. La variante IP avait déjà été utilisée auparavant mais avant la découverte de l’attaque Min-Rank S elle était strictement moins efficace que d’autres variantes. Ceci a mené à un article accepté à PQ Crypto 2024. Ensuite nous avons combiné les perturbations « plus chapeau » et LL’ ainsi que l’algorithme HFE afin de créer HFE LL’ en chiffrement. Notre contribution majeure a été de développer un protocole dédié à cette variante afin d’éviter des fuites d’informations. Nous avons soigneusement choisi des paramètres de HFE LL’ afin de résister à toutes les attaques connues ainsi qu’à celles que nous avons envisagées. Ceci a mené à un article accepté à Indocrypt 2025.

Nous avons ensuite amélioré l’algorithme QR-UOV soumis et toujours présent à la compétition « Additional Digital Signature Schemes » organisée par le NIST. Nous avons, pour ce faire, utilisé la variante moins ce qui permet des gains en termes de taille de clé publique. En effet la variante QR (Quotient Ring) impose une rigidité dans le choix des paramètres de QR-UOV ce qui mène à des tailles de clé publique sous-optimales ; la variante moins évite cet écueil sans perdre l’intérêt de la variante QR qui était déjà de diminuer la taille de clé publique par rapport à UOV seul. Enfin nous avons amélioré des protocoles utilisant UOV pour faire des signatures à seuil. Nos protocoles permettent plusieurs compromis, entre une sécurité accrue et de meilleures performances.

Pierre Bodin soutient sa thèse intitulée « Catégories dérivées, surfaces et localisation », co dirigée par Pierre_Guy Plamondon (LMV) et Thomas Brüstle (Université de Sherbrooke),

le jeudi 15 janvier à 14h30, bâtiment Descartes, amphi A.

Cette thèse étudie la localisation des catégories de Fukaya topologique de surfaces marquées graduées, telles que définies par Haiden-Katzarkov-Kontsevich, en une collection d’objets sphériques compatibles. Géométriquement, une telle collection correspond à une famille de courbes fermées simples graduées disjointes sur la surface. Nous chercherons à motiver l’idée que la catégorie localisée peut jouer le rôle d’une catégorie de Fukaya topologique pour la surface singulière obtenue en contractant les courbes fermées simples correspondantes.

Dans le premier chapitre, nous rappelons des résultats classiques de la théorie des représentations des algèbres aimables et introduisons les concepts qui nous seront utiles pour les catégories \(A_{\infty}\), avant de présenter la construction de la catégorie de Fukaya topologique d’une surface marquée graduée. Certains aspects du modèle géométrique pour la catégorie dérivée bornée d’une algèbre aimable sont également présentés.

Dans le deuxième chapitre, nous définissons une classe d’algèbres données par carquois et relations, que nous appelons algèbres aimables contractées. En se basant sur un résultat similaire pour les algèbres aimables, nous montrons que les carquois gradués contractés sont en bijection avec les surfaces marquées avec singularités coniques munies d’une dissection graduée admissible simple. Nous étudions ensuite un enrichissement différentiel gradué (DG) de la localisation de la catégorie dérivée parfaite d’une algèbre aimable par une sous-catégorie engendrée par une collection d’objets sphériques compatibles. Nous montrons que chaque algèbre aimable contractée peut être réalisée comme anneau d’endomorphismes d’un générateur formel d’un tel quotient DG. Afin de montrer la formalité, nous utilisons une suite spectrale sur les espaces de morphismes d’un quotient DG et nous décrivons sa première page en toute généralité. Enfin, nous déduisons d’un résultat de Gyenge le fait que la catégorie dérivée d’une algèbre aimable contractée prend place dans un recollement similaire à celui obtenu par Chang-Jin-Schroll pour les localisations en une collection d’arcs compatibles.

Le troisième chapitre est essentiellement une généralisation des résultats du second, en élargissant la classe des générateurs formels obtenus pour les localisations de catégories de Fukaya topologiques par des objets sphériques compatibles. Plus précisément, une généralisation de la classe des algèbres aimables contractées est donnée, ainsi qu’une généralisation de la notion de dissection admissible d’une surface marquée avec singularités coniques. La bijection entre ces deux classes d’objets, établie au chapitre deux, est alors décrite dans cette nouvelle généralité. Nous étudions ensuite un enrichissement \(A_{\infty}\)  du quotient triangulé et montrons que chaque algèbre aimable contractée peut être réalisée comme anneau d’endomorphismes d’un générateur formel. Le calcul de la formalité est effectué cette fois-ci au moyen d’un transfert d’homotopie de structure \(A_{\infty}\).

Cette construction nous permet d’associer à une surface graduée marquée avec singularités coniques $S$ munie d’une dissection admissible \(A\), une catégorie \(\mathcal{F}_A(S)\) qui engendre la catégorie dérivée parfaite d’une algèbre aimable contractée. Une conséquence immédiate des équivalences données dans le cas lisse par Haiden-Katzarkov-Kontsevich est que la classe d’équivalence de Morita de \(\mathcal{F}_A(S)\) est indépendante de \(A\).

Nous donnons au passage deux bases pour les algèbres aimables contractées, l’une étant obtenue par une application du lemme du diamant de Bergman. La dernière section donne un exemple de catégorie triangulée non-Krull-Schmidt contenant deux objets bousculants ayant un nombre différent de composantes directes indécomposables.