Monica Garcia soutient sa thèse intitulée :« Sur des aspects algébriques et géométriques de la catégorie des présentations projectives », encadrée par Pierre-Guy Plamondon,
le mercredi 3 juillet 2024 à 13h, amphi I du bâtiment Fermat.

Résumé : Cette thèse concerne des aspects algébriques et géométriques de la catégorie des présentations projectives sur une algèbre de dimension nie, inspirée à la fois par la théorie de la semistabilité pour les modules au sens de A. King, et la théorie du τ-basculement, telle qu’introduite par A. Adachi, O. Iyama et I. Reiten. Après un survol des propriétés fondamentales
de la catégorie des présentations projectives dans le premier chapitre, nous nous intéressons dans le deuxième chapitre à l’étude des semi-invariants déterminantaux sur les espaces virtuels de présentations projectives. Nous proposons une définition de semistabilité pour les présentations projectives basée sur ces semi-invariants. Bien que cette définition implique une condition numérique sur les g-vecteurs, nous démontrons que les deux concepts ne sont pas équivalents. De plus, nous montrons que la condition numérique sur les g-vecteurs ne capture pas les propriétés homologiques associées à la condition numérique de King pour la semistabilité des modules.

Dans le troisième chapitre, nous considérons des sous-catégories épaisses de présentations projectives, qui incluent les catégories de présentations projectives semistables telles que définies dans le premier chapitre. Nous établissons une correspondance entre les sous-catégories épaisses avec suffisamment d’objets injectifs, les paires de cotorsion complètes et les complexes bousculants à 2-termes de la catégorie des présentations projectives. Cette correspondance fournit un analogue à la bijection entre les sous-catégories vastes finies à gauche, les classes de torsion fonctoriellement finies et les paires à support τ-basculantes dans la catégorie des modules.

Dans le quatrième chapitre, nous abordons le cas où l’algèbre est g-finie au sens de L. Demonet, O. Iyama et G. Jasso. Nous fournissons des équivalences entre la g-finitude, la finitude du nombre de paires de cotorsion, la complétude de toutes les paires de cotorsion et la finitude du nombre de sous-catégories épaisses. De plus, nous montrons que lorsqu’une algèbre satisfait à ces propriétés équivalentes, toutes les sous-catégories épaisses possèdent suffisamment d’objets injectifs.