Séminaires AG 2009-2010

Liste des séminaires

• 11 mai 2010 – Jan Schepers (Univ. Leuven) : Sur les stringy nombres de Hodge

Résumé : En 1997 Batyrev a défini les stringy nombres de Hodge pour certaines variétés algébriques complexes singulières. Ils généralisent les nombres de Hodge classiques pour les variétés lisses. Ils sont définis comme coefficients dʼune fonction génératrice, et une conjecture de Batyrev prédit quʼils ne peuvent pas être négatifs, ce qui est clair pour les nombres de Hodge classiques. Dans cet exposé, on veut traiter des aspects différents de la théorie des stringy nombres de Hodge : – les cas connus de la conjecture de Batyrev, – la propriété de Hard Lefschetz pour les stringy nombres de Hodge, – la relation avec la fonction de zêta motivique de Denef et Loeser, – et une classe de singularités non dégénérées intéressante dans ce contexte.

• 4 mai 2010 – Sahar SALEH (Univ. Angers) : La fonction d’Artin-Greenberg d’une singularité plane

Résumé : Soit $K$ un corps algébriquement clos de caractéristique 0 et soit $f$ un polynôme distingué et réduit de $K[[x]][y]$. La fonction d’Artin-Greenberg de $f$ est un invariant numérique important de la singularité définie par $f$. Lorsque $f$ est irréductible, M. Hickel a décrit cette fonction par des formules explicites et a démontré que la donnée de celle-ci, avec la multiplicité à l’origine, est équivalente à celle du semi-groupe de$ f$. Le but de cet exposé est de généraliser le résultat de Hickel au cas réductible. Remarquons que dans ce cas, le semigroupe de $f$ n’est pas finiment engendré. Nos formules donnent néanmoins les éléments maximaux irréductibles de ce semi-groupe (notion introduite et étudiée par Garcia, Delgado, Campillo, et Gusein-Zade).

• 13 avril 2010 – Zindine Djadli (Univ. Caen) : Un théorème de la sphère en dimension 3 et fonctionnelle quadratique

Résumé : Dans cet exposé on montrera un théorème de rigidité des variétés de dimension 3 (en courbure positive) sous une hypothèse de pincement de la courbure de type intégral. Si le temps le permet on abordera aussi le cas des dimensions plus grandes.

• 6 avril 2010 – C. Pauly (Univ. Montpellier) : Fibrés vectoriels sur les courbes et fonctions thêta généralisées

Résumé : Dans la première partie de cet exposé j’introduirai les espaces de modules de fibrés vectoriels sur les courbes algébriques ainsi que les systèmes linéaires de fonctions thêta généralisées sur ces espaces de modules. J’expliquerai rapidement le lien avec les espaces de blocs conformes définis à l’aide de représentations d’algèbres de Lie affines et étudiés en théorie conforme des champs. Dans la deuxième partie je présenterai la connexion de Hitchin sur le faisceau des fonctions thêta généralisées pour une famille de courbes et je montrerai que la monodromie de la connexion de Hitchin est infinie.

• 30 mars 2010 – Francesco Amoroso (Univ. Caen) : Comptage des petits points et applications

Résumé : Les minorations de la hauteur dans une puissance du tore multiplicatif ont plusieurs applications remarquables. Ils sont des outils essentiels dans l’approche de Bombieri, Masser et Zannier vers la conjecture de Zilber. Ils sont également utilisés pour aborder des questions algorithmiques concernants la factorisation des polynômes lacunaires à plusieurs variables (travaux de Koiran et Kaltofen et de Avendano, Krich et Sombra). Ils interviennent dans les estimations de Evertse, Schlickewei et Schmidt sur le nombre de solutions dans un groupe de rang fini d’une équation linéaire. Ils peuvent enfin être utilisés pour étudier la structure du groupe de classes d’idéaux de certain corps. Nous décrierons l’état de l’art sur ce sujet, présentant plusieurs résultats obtenus en collaboration avec David, Dvornicich, Viada et Zannier.

• 16 mars 2010 – François Drouot (Univ. Nancy) : Représentations de la super-algèbre de Lie étrange p(3)

Résumé : Soit p’(n) la super-algèbre de tous les endomorphismes d’un superespace vectoriel de dimension (n,n) qui préservent une forme symétrique impaire non-dégénérée. Le centre de son algèbre enveloppante est triviale, récemment Vera Serganova a démontré que le quotient de U par son radical possède un plus gros centre qui sépare les représentations simples typiques de dimension finie. Ceci lui permet de donner une formule des caractères pour ces représentations simples. Dans cet expose, après avoir rappelé la définition et des propriétés de cette super-algèbre de Lie, j’expliquerai le résultat de Serganova, puis je donnerai une formule des caractères pour toutes les représentations de dimension finie (typique ou non) dans le cas ou n vaut 3.

• 9 février 2010 – Laurent Démonet (Univ. Caen) : Positivité totale, algèbres amassées et catégorification

• 26 janvier 2010 – Abdallah Assi : La théorie d’Abhyankar-Moh pour les polynômes quasi-ordinaires

Résumé : Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique 0 et soit f un polynôme de $K[x_1, . . . , x_n]$. On dit que f est un hyperplan (resp. une variable) si $K[x_1, . . . , x_n]/(f)$ est isomorphe à $K[x_1, . . . , x_n_−_1]$ (resp. si $f$ est l’image d’une variable par un automorphisme de $K[x_1, . . . , x_n]$). Si $n$ = 2, on sait, grâce à la théorie d’Abhyankar-Moh, qu’une droite est une variable. Le problème à savoir si un hyperplan est une variable reste ouvert pour $n\geq3$. Dans cet exposé nous généralisons la théorie d’Abhyankar-Moh aux polynômes quasi-ordinaires et rappelons notre critère d’irréductibilité pour ces polynômes. Nous démontrons ensuite, utilisant ce critère, qu’un hyperplan quasi-ordinaire est une variable.

• 18 décembre 2009 – Vincent Sécherre (Univ.Aix- Marseille II) : Représentations modulo l de GL(m,D) avec D algèbre à division p-adique et l différent de p.

Résumé : Soit D une algèbre à division dont le centre est un corps p- adique. L’objectif de ce travail (en cours et en collaboration avec Alberto Minguez) est d’obtenir une classification à la Zelevinsky des représentations (lisses) irréductibles de GL(m,D) à coefficients dans un corps de caractéristique l différente de p, et de décrire la réduction modulo l des représentations l-adiques irréductibles entières de GL(m,D). Je présenterai des résultats partiels concernant cet objectif, et je parlerai de l’existence éventuelle d’une correspondance de Jacquet-Langlands modulo l.

• 8 décembre 2009 – Pascal Boyer (Institut de Mathématiques Paris VII) : Cohomologie de certaines variétés de Shimura unitaires simples : au delà de la formule des traces

Résumé : la preuve de la correspondance de Langlands locale par Harris et Taylor, ou par Henniart, est de nature globale et repose essentiellement sur l’étude de la cohomologie de certaines variétés de Shimura afin de fournir suffisamment de correspondances globales « faibles ». Le calcul de ces groupes de cohomologie se fait au moyen de la formule des traces de Selberg laquelle permet donc d’en déterminer la somme alternée. Dans cet exposé, nous verrons comment utiliser la théorie des faisceaux pervers pour déterminer complètement chacun de ces groupes de cohomologie et montrer en particulier qu’ils vérifient la conjecture de monodromie-poids.

• 1er décembre 2009- Anne Queguiner-Mathieu (Univ. Paris 13) : L’invariant de Rost et sa restriction aux torseurs issus du centre

Résumé : Cet exposé est basé sur des travaux en collaboration avec P. Gille et S. Garibaldi. Soit A une algèbre simple centrale, et G le groupe algébrique SL1(A) des éléments de A de norme 1. Nous montrons que l’invariant de Rost pour le groupe G est donné par le cup-produit avec la classe de Brauer de l’algèbre A. Ceci permet de déterminer la restriction de l’invariant de Rost aux torseurs issus du centre du groupe pour tous les types de groupes, classiques et exceptionnels.

• 1er décembre 2009 – P. Gonzalez-Perez (Univ. Complutense, Madrid) : Modification de Semple-Nash de variétés toriques et désingularisation

Résumé : Nous étudions la catégorie de variétes toriques sans hypothèse de normalité. La modification de Semple-Nash, et plus généralement l’éclatement d’un idéal monomial, dans une variété torique affine, est un exemple de morphisme dans cette catégorie. Nous nous intéressons ensuite aux propriétés de désingularisation de la modification de Semple-Nash. C’est un travail en cours avec Bernard Teissier.

• 24 novembre 2009 :

 de 10 h à 11 h : Alexandra Viale (UVSQ) :

Résumé : Nous travaillons sur un corps $K$ algébriquement clos et de caractéristique nulle. Un polynôme quasi-ordinaire est un polynôme à coefficients dans $K[[x_1,…,x_e]]$ dont le discriminant est le produit d’un monôme et d’un élément inversible. Le théorème d’Abhyankar-Jung nous assure que les racines d’un tel polynôme de degré n sont des éléments de $b[[x_1^1^/^n,…, x_e^1^/^n]]$. Nous reprendrons une preuve de ce théorème reposant sur le fait que le polyèdre d’Hironaka d’un polynôme quasi-ordinaire n’a qu’un seul sommet. Nous verrons ensuite comment la théorie de Galois permet d’obtenir des résultats plus précis sur l’ensemble des racines. Références : I.Luengo. A new proof of the Jung-Abhyankar theorem. Journal of Algebra. 85, 1983. J.Lipman. Toplogical invariants of quasi-ordinary singularities. American mathematical society. 74, 1988. SS.Abhaynkar. Lectures on expansions techniques in algebraic geometry. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay,1977.

 à 11h30 : Pascal Hivert (UVSQ)

Résumé : De Concini et Procesi ont défini la compactification merveilleuse de G/H, où G est un groupe semisimple algébrique, et H est le sous groupe des points fixes par une involution $\Sigma$ . Nous démontrerons que dans le cas d’une algèbre de Lie simple L, les équations définissant la compactification merveilleuse de rang maximum sous son groupe adjoint G de L dans un grassmanienne convenable de L sont linéaires. Pour cela, nous introduirons une variété dont les points sont des sous espaces vectoriels de L, où s’annule la forme trilinéaire invariante de L, $w=([.,.],.)$, ($\kappa$ la forme de Killing). Nous commencerons par un exemple, le cas $L{sl}(3)$.

• 7 novembre 2009 – Journée spéciale « Doctorants »

• 10 novembre 2009 – Pierre-Henri Chaudouard (Université Paris XI) : La fibration de Hitchin tronquée

Résumé : L’exposé portera sur un travail en commun avec Gérard Laumon dans lequel nous démontrons le lemme fondamental pondéré. Ce dernier est une famille d’identités entre intégrales orbitales pondérées qui généralise le lemme fondamental et qui semble incontournable lorsqu’on veut démontrer certaines fonctorialités de Langlands au moyen de la formule des traces d’Arthur-Selberg. C’est Ngô qui a démontré en toute généralité le lemme fondamental par une étude cohomologique de la partie elliptique de la fibration de Hitchin. Dans cet exposé, nous décrirons une variante tronquée de la fibration de Hitchin qui est au coeur de notre démonstration (qui généralise celle de Ngô).

• 6 octobre 2009 – Pierre Debes (Université Lille I) : Revêtements de la droite et propriété de Hilbert-Grunwald

Résumé : Je présenterai des résultats qui relient le problème inverse de Galois, sa forme géométrique, le théorème d’irréductibilité de Hilbert et le théorème de Grunwald-Wang. Une idée sera d’exploiter des situations de bonne réduction de certaines formes tordues de revêtements et de leurs espaces de modules. Travail commun avec Nour Ghazi.

• 22 septembre 2009 – Yongquan Hu (Univ. Paris XI) : Diagrammes canoniques et représentations modulo p de $GL_2(F)$

Résumé : Soit p un nombre premier et F un corps local complet de corps résiduel fini de caractéristique p, nous s’intéressons aux représentations lisses irréductibles de GL2(F) sur Z/pZ ayant un caractère central. A une telle représentation, nous associons canoniquement un diagramme qui détermine la représentation originale à isomorphisme près. Dans les cas considérés par Breuil-Paskunas, nous expliquerons comment construire des nouvelles représentations supersingulières.