Dmitrii Koshelev soutient sa thèse intitulée « Nouvelles applications des surfaces rationnelles et surfaces de Kummer généralisées sur des corps finis à la cryptographie à base de couplages et à la théorie des codes BCH », dirigée par Mikhail Tsfasman le 9 février 2021.
Résumé :
Dans la thèse deux tâches se posant pour des courbes elliptiques de $j$-invariants $0, 1728$ sont considérées. Ces courbes sont connues pour être prioritaires en cryptographie à base de couplages. La première tâche est consacrée à la compression de points d’une courbe elliptique, et la seconde à la construction d’une application d’un corps fini dans le groupe des points d’une courbe elliptique sur lui.Pour dériver les formules explicites correspondantes, nous utilisons des méthodes peu banales de géométrie birationnelle sur des corps finis, ainsi que la théorie des surfaces de Kummer (généralisées). Contrairement aux approches déjà connues pour résoudre les tâches mentionnées, les nôtres nécessitent moins d’exponentiations dans le corps de base. C’est important, car en général, même une seule exponentiation est considérée comme une opération assez longue. La thèse étudie également une large classe de codes (AG) de géométrie algébrique sur des surfaces toriques non déployées que nous appelons codes toriques non déployés. Beaucoup d’entre eux sont contenus dans une classe bien connue de codes BCH $q$-aires qui peuvent être décodés rapidement (par rapport à ceux AG). En revanche, la théorie des codes BCH (contrairement à ceux AG) n’est pas assez profonde pour estimer exactement leurs paramètres. Plus précisément, pour calculer la distance minimale de certains codes BCH toriques non déployés, nous utilisons la théorie des courbes elliptiques sur des corps finis.