L’objectif de cette série de cours est de présenter à un large public (étudiants de master, doctorants mais aussi chercheurs) différentes directions de recherche très actives au carrefour des mathématiques et d’autres disciplines et de fournir une initiation à des simulations simples dans ces domaines.
Les cours d’une durée de 6 heures seront assurés par quatre chercheurs en mathématiques mais s’adressent à un large public de chercheurs et étudiants issus de diverses disciplines (chimie, physique, informatique, biologie).
Au programme : en 3 jours, initiation à 3 thèmes où s’appliquent les mathématiques (contrôle optimal, simulation moléculaire, modèles financiers) ainsi qu’à la simulation numérique avec le logiciel FreeFem.
Série de cours organisée par Tahar Boulmezaoud et Laurent Dumas.
Cours
- Eric Cancès ( CERMICS – Ecole des Ponts ParisTech) : Modèles mathématiques pour la simulation moléculaire
Résumé : La simulation moléculaire est un outil essentiel en chimie, en biologie moléculaire, en physique du solide, et en sciences des matériaux, et trouve aujourd’hui de nouvelles applications dans le domaines des nanosciences.
Ce cours a pour objet de présenter les principaux modèles utilisés en simulation moléculaire, leurs propriétés mathématiques et les techniques numériques permettant de les simuler. Il sera divisé en deux parties. Dans la première partie, je parlerai des modèles de dynamique moléculaire classique, et de leur utilisation pour calculer les propriétés macroscopiques de matériaux à partir de leur structure moléculaire. D’un point de vue mathématique, ces modèles se déclinent en une version déterministe (système Hamiltonien de Newton) et une version stochastique (équation différentielle stochastique de Langevin). La seconde partie portera sur les modèles de simulations moléculaires ab initio, dérivés des principes fondamentaux de la mécanique quantique (modèles de Hartree-Fock et de Kohn-Sham). Ces modèles, qui possèdent de remarquables propriétés prédictives, se présentent sous la forme de problèmes variationnels sous contraintes dont les équations d’Euler-Lagrange sont des problèmes aux valeurs propres elliptiques non-linéaires.
- Rama Cont (CNRS et Université Pierre et Marie Curie) : Modélisation mathématique du risque systémique
Résumé : La crise financière de 2008 a soulevé des questions importantes et intéressantes sur la stabilité du système bancaire et financier mondial et le /risque systémique/ associe à sa défaillance. L’étude quantitative de ces questions nécessite un élargissement du champ traditionnel de la modélisation mathématique en finance, focalisée sur le point de vue d’un investisseur individuel qui subit le risque résultant des fluctuations de prix de marche mais n’y contribue pas. Pour tenir compte du caractère endogène des risques financiers et de la structure des liens entre institutions financières qui peuvent conduire a des phénomènes de contagion, et du rôle des infrastructures de marche dans la stabilité financière, des outils mathématiques tels que la théorie des graphes aléatoires, la diffusion sur des réseaux complexes, la simulation Monte Carlo et des équations différentielles stochastiques non linéaires peuvent être utiles. Après un tour d’horizon des questions liées au risque systémique, nous évoquerons quelques pistes de modélisation mathématique et présenterons des résultats récents autour des thèmes suivants : (i) risque systémique et contagion dans les systèmes financiers, (ii) contagion de défaut dans les réseaux interbancaires : modélisation et simulation, (iii) vers une vision dynamique des risques financiers : la modélisation des risques endogènes.
- Frédéric Hecht (Laboratoire Jacques-Louis Lions) : Freefem++ , un logiciel de résolution EDP en 2d et 3d.
Résumé : Base de méthodes des éléments finis Le problème de Poisson, la formulation faible ou variationnelle
Ecriture dans Freefem++
Quelques problèmes connexes.
Présentation des outils de maillages, d’ adaptation de maillages.
Outils pour le calcul Parallèle,
Quelques exemples provenant de la mécanique de fluide, mécanique de solide, des finances
Plus un TP sur un problème simple, puis sur un problème original à définir avec les participants.
- Emmanuel Trélat (Fédération Denis Poisson – Université d’Orléans) : Contrôle optimal et applications en aéronautique
Résumé : La théorie de contrôle optimal permet d’élaborer des lois de guidage optimal (pour un critère que l’on choisit) pour un système gouverné par une certaine dynamique. Par exemple en aéronautique on peut s’intéresser au problème du transfert orbital d’un satellite propulsé par un moteur ionique et que l’on cherche à transférer, par exemple, d’une orbite basse à l’orbite géostationnaire en minimisant le temps de transfert ou bien la consommation d’énergie.
Du point de vue mathématique, la théorie se base sur le Principe du Maximum de Pontryagin, qui est une condition nécessaire d’optimalité du premier ordre, et qui sera présenté dans ce cours. La mise en oeuvre numérique sera ensuite discutée et on présentera différentes méthodes qui permettent de résoudre un tel problème de contrôle optimal dans la pratique : méthodes directes d’optimisation, et méthodes indirectes (méthode de tir). Différents exemples seront présentés, et notamment en aéronautique : le problème de transfert orbital mentionné précédemment ; le problème de rentrée atmosphérique d’une navette spatiale ; le problème des lanceurs.