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SUMMARY:EDP : Jean-Marie Mirebeau (ENS Paris-Saclay) : discrétisation de la formulation de Benamou-Brenier Ballistique de l'équation des milieux poreux
DESCRIPTION:Je présenterai la discrétisation\, la convergence\, et l’implémentation numérique\, de reformulations récentes de l’équation quadratique des milieux poreux (multi-dimensionelle et anisotrope) et de l’équation de Burgers (unidimensionelle\, avec viscosité optionnelle)\, sous la forme de variantes évolutives de la formulation de Bénamou-Brenier du transport optimal. L’approche proposée reformule ces problèmes d’évolution en problèmes d’optimisation globaux en temps et en espace\, d’ordre deux et inconditionellement stables par rapports aux pas de discrétisation\, dont la résolution numérique est fondée sur des algorithmes proximaux et une transformée de Fourier globale temps-espace.
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SUMMARY:EDP : Yves Capdeboscq (université Paris Cité) : Le camouflage sans peine
DESCRIPTION:Les travaux sous-jacent à cet exposé sont une collaboration avec Michael Vogelius d’une part\, et d’une partie du travail de thèse d’Eleanor Gemida d’autre part. \nDans un domaine régulier borné Ω de ℝd\, avec B2:={x : ||x|| ≤ 2} ⊂ Ω\, l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann associé à une fonction matricielle définie positive A ∈ L ∞ (Ω ; ℝ d × d ) est défini par\n\[\n\Lambda_A : H^{\frac{1}{2}}(\partial \Omega) \to H^{-\frac{1}{2}}(\partial \Omega)\,\n\]\n\[\n\phi \mapsto A \nabla u \cdot n \quad \text{où} \quad\n\begin{cases}\n– \text{div}(A \nabla u) = 0 & \text{dans } \Omega\, \\\nu = \phi & \text{sur } \partial \Omega.\n\end{cases}\n\] \nPour ρ ∈ ]0\,1[\, un masquage approché d’ordre ρ  pour l’équation de conductivité est une fonction aρ ∈ L ∞(Ω \ B1; ℝ d × d ) telle que\, pour tout γ dans L ∞(B1; ℝ d × d )\, la conductivité définie par\n\[\nA_{\gamma\,\rho} =\n\begin{cases}\na_\rho & \text{dans } \Omega \setminus B_1\, \\\n\gamma & \text{dans } B_1\,\n\end{cases}\n\]\nvérifie\n\[\|\Lambda_{A_{\gamma\,\rho}} – \Lambda_{I_d}\| \leq C \rho^d\]\noù C est indépendante de γ.\nLa méthode de camouflage par transformation a fourni une approche mathématique pour construire de tels masquages approchés. Le coefficient aρ est à la fois anisotrope et spatialement variable\, et peut être interprété comme un matériau composite. \nDans cette présentation\, nous discutons d’un critère d’optimalité des masquages approchés\, et nous construisons masquages approchées isotropes par morceaux pouvant être construits par addition de matière en couches successives de trois matériaux différents.
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SUMMARY:EDP : Olivier Delestre (université Nice Sophia Antipolis) : Défis numériques de la simulation du ruissellement : méthodes\, maillages et modèles
DESCRIPTION:La modélisation du ruissellement à surface libre sur des bassins versants naturels pose des défis importants tant du point de vue physique que numérique. Les faibles hauteurs d’eau\, les transitions entre zones sèches et mouillées et les états d’équilibre rendent délicate la résolution des équations de Saint-Venant. Parmi les méthodes numériques adaptées\, la reconstruction hydrostatique (Audusse et al.\, 2004) garantit la préservation des états au repos\, mais montre ses limites lorsque le maillage devient grossier. Des alternatives plus récentes\, telles que la méthode de (Chen & Noelle\, 2017)\, semblent surmonter certaines de ces difficultés.\nDans ce travail\, nous discutons également du rôle du choix des lois de frottement et de la structure du maillage sur la cohérence physique des simulations. L’essor des ressources de calcul (HPC CPU & GPU) permet désormais des simulations fines (résolution métrique) sur des domaines étendus (~70 km²). Cependant\, un compromis reste nécessaire pour des applications réalistes raisonnables. Nous présentons une approche de maillage adaptatif fondée sur des critères morphométriques\, développée avec Pierfranco Costabile\, qui permet de préserver la dynamique du bassin tout en limitant le coût de calcul. Cette approche soulève des questions intéressantes sur la robustesse des méthodes numériques classiques dans des contextes de maillage hétérogène\, en particulier pour la modélisation du ruissellement à grande échelle.
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SUMMARY:EDP : Simon Schulz (LMV\, UVSQ) : Régularité à la De Giorgi pour une équation parabolique non-locale dégénérée
DESCRIPTION:On s’intéresse à une équation d’évolution non-locale et dégénérée provenant d’une limite formelle de systèmes à grand nombre de particules auto-propulsées (dit systèmes actifs browniens\, qui interviennent en modélisation en sciences biologiques et sociales). On démontre que toute solution faible provenant de données initiales suffisamment régulières est en fait lisse pour tout temps positif. La preuve s’appuie sur des techniques de minoration qui exploitent la méthode de De Giorgi/itérations Moser. De plus\, en utilisant ce résultat de régularité\, on démontre l’unicité des solutions faibles. Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec Luca Alasio (LJLL\, Sorbonne Université).
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SUMMARY:EDP : Antonin Chambolle (université Paris Dauphine) : Analyse d'approximations du mouvement par courbure moyenne basées sur des réseaux de neurone
DESCRIPTION:Dans une série de travaux récents\, (Bretin et al) ont proposé plusieurs approches basées sur des réseaux de neurones pour « apprendre » et reproduire des flots géométriques (mouvement par courbure moyenne\, mouvement d’interfaces non-orientées\, flot de type Willmore…)\nDans cet exposé\, on s’intéressera au flot le plus élémentaire\, le mouvement par courbure moyenne des bords d’ensembles\, et on analysera la consistance de deux schémas numériques très simples\, qui expliquent (partiellement) pourquoi l’approximation par réseaux de neurones est si facile à mettre en œuvre dans ce cadre.
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SUMMARY:EDP : Sonia Fliss (ENSTA) : Wave propagation in quasi-periodic media
DESCRIPTION:This work\, done in collaboration with Pierre Amenoagbadji (Columbia University) and Patrick Joly (POEMS)\, is devoted to the solution of the Helmholtz equation in 1D unbounded quasiperiodic media. By this we mean that the coefficients appearing in the model are quasiperiodic functions of the 1D space variable\, namely the trace along a line of a periodic function of n variables. \nWhen the coefficients are periodic (which is a special case)\, several methods have been proposed to characterize and compute the solution. However\, when the coefficients are quasi-periodic without being periodic\, the above methods cannot be applied directly. \nWe use an original method\, that we call the lifting method\, which has been used in several papers on homogenization theory. The original problem can thus be lifted to an nD « augmented » problem with periodic coefficients\, and the 1D solution is the trace along this line of the nD solution. The advantage is that the periodicity of the augmented problem enables to use the ideas proposed for solving periodic Helmholtz equations in periodic waveguides. However\, since the augmented equation is a degenerate elliptic equation\, the corresponding tools have to be adapted since new difficulties arise both in the analysis and in the design of the resulting numerical method. \nI will present our results for the Helmholtz equation with dissipation (where the solution decays at infinity) and then for the equation without dissipation (where the solution can propagate to infinity)\, analyzing the latter case using a limiting absorption principle.
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SUMMARY:EDP : Nicola Visciglia (université de Pise) : Smoothing effect for the scattering operator associated with 1-d NLS and generalized KdV
DESCRIPTION:In the first part of the seminar we recall the definition and main classical results about nonlinear scattering for solutions to 1-d NLS and gKdV. In the second part of the seminar we present new results about the structure of the scattering operator and some related smoothing properties.\nThis a joint work with N. Burq\, H. Koch\, N. Tzvetkov.
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SUMMARY:EDP : Nikita Simonov (LJLL\, Sorbonne université) : L’inégalité de Sobolev logarithmique : stabilité\, instabilité et taux de convergence améliorés pour le flot d’Ornstein–Uhlenbeck
DESCRIPTION:Dans certaines inégalités fonctionnelles\, les meilleures constantes et les minimiseurs sont connus. Une question naturelle est alors celle de la stabilité : si une fonction « atteint presque l’égalité »\, dans quel sens est-elle proche de l’un des minimiseurs ? Nous présenterons un résultat récent sur la stabilité quantitative pour l’inégalité de Sobolev logarithmique\, relative à la mesure gaussienne. Notre approche repose sur la méthode du carré du champ appliquée à l’équation d’Ornstein–Uhlenbeck\, ce qui permet d’obtenir des estimations entièrement constructives. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Giovanni Brigati (ISTA) et Jean Dolbeault (CEREMADE–Dauphine).
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/edp-nikita-simonov-ljll-sorbonne-universite/
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SUMMARY:EDP : Cécile Taing (université de Poitiers) : On the Fisher infinitesimal model without variability
DESCRIPTION:We study the long-time behavior of solutions to a model of sexual populations structured\nin phenotypes. The model features a nonlinear integral reproduction operator derived from\nthe Fisher infinitesimal operator and a linear trait-dependent selection term. The reproduction\noperator describes here the inheritance of the mean parental traits to the offspring without\nvariability.\nFirst\, we show that\, under assumptions on the growth of the selection rate\, Dirac masses are\nstable around phenotypes for which the difference between the selection rate and its minimum\nvalue is less than 1/2. Then\, we prove the convergence in some Fourier-based distance of\nthe centered and rescaled solution to a stationary profile under some conditions on the initial\nmoments of the solution. The use of the Fourier-distance for probability measures has been\ninspired from the work of Lorenzo Pareschi and Giuseppe Toscani in 2006 for kinetic models of\nBoltzmann-Maxwell type.\nThis work has been done in collaboration with Amic Frouvelle (Université Paris Dauphine).
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/edp-cecile-taing-universite-de-poitiers/
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SUMMARY:EDP : Maxime Zavidovique (IMJ\, Sorbonne université) : équations d’Hamilton-Jacobi amorties
DESCRIPTION:On s’intéresse à des équations du type\n\( \lambda a(x) u(x) + H(x\, D_x u) = \text{constante} \)\noù l’inconnue est définie sur un tore \( T^d \) et l’hamiltonien \( H \) est défini sur \( T^d \times \mathbb{R}^d \) et satisfait des hypothèses de convexité et de coercivité. Les graphes des 1-jets des solutions vérifient des propriétés d’invariance par un flot de contact associé.\nOn expliquera aussi comment le signe de la fonction \( a \) affecte drastiquement l’unicité ou non des solutions et le comportement asymptotique des solutions quand \( \lambda \to 0_+ \).
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SUMMARY:EDP : Lucie Baudouin (LAAS & CNRS\, Toulouse) : From Stability to Reconstruction: Carleman-Based Algorithms for Wave Equation Coefficients
DESCRIPTION:This talk focuses on the reconstruction of unknown coefficients in the wave equation\, leveraging the power of Carleman inequalities. We aim at designing a global reconstruction algorithm for coefficients – such as time-independent potentials or wave propagation speeds – from Neumann boundary measurements of the solution. We begin by revisiting the historical foundations of uniqueness and stability results for this inverse problem\, established over 25 years ago using local and global Carleman estimates. Building on these insights\, we present a more recently developed reconstruction algorithm that exploits the same technical tools to ensure global convergence\, avoiding possible local minima encountered by conventional methods. The algorithm is grounded in the minimization of a functional derived from the Carleman weight function\, directly inspired by the stability proof strategy. The talk will outline the key steps in proving the algorithm’s convergence for reconstructing coefficients in bounded domains or networks. These works are the result of various long-standing collaborations with Maya de Buhan\, Emmanuelle Crépeau\, Sylvain Ervedoza\, Axel Osses\, and Julie Valein.
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SUMMARY:EDP : Luc Robbiano (LMV) : Stabilisation des équations des ondes avec un amortissement interne retardé
DESCRIPTION:On présentera le modèle et on donnera des exemples où le retard déstabilise complètement le système même pour des petits retards.\nOn donnera aussi des résultats de stabilisation exponentielle sous une condition analogue à la condition de contrôle géométrique dans le contexte des variétés sans bord. Ce résultat repose sur une étude pour sur les petites fréquences\, dans ce cas on supposera le retard petit et une étude à hautes fréquences.
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SUMMARY:EDP : Nicolas Camps (Université de Rennes) : Gibbs measure for NLS on the 2-sphere
DESCRIPTION:Abstract : The Gibbs measure problem consists in constructing a unique global invariant flow supported by the measure itself. We address this problem for the cubic nonlinear Schrödinger equation posed on the two-dimensional sphere \(\mathbb{S}^2\). In this setting\, concentration phenomena along certain geodesics rule out the perturbative approaches that are effective on the torus. To overcome these instabilities\, we develop a non-perturbative scheme based on a refined analysis of the probabilistic structure of approximate solutions. \nJoint work with N. Burq\, C. Sun\, and N. Tzvetkov
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SUMMARY:EDP : Philippe Moireau (Ecole Polytechnique) : Observateur de Mortensen dans les variétés et application à la propagation des feux de forêt
DESCRIPTION:L’assimilation de données vise à combiner de manière optimale les modèles dynamiques des systèmes physiques avec les mesures disponibles afin d’estimer l’état ou les paramètres du système. Dans de nombreuses applications\, l’état ou l’espace d’observation est constitué de données de type contour\, plus précisément de courbes fermées. Bien qu’il y ait eu des tentatives pour inclure ce type d’informations dans des retours d’état afin de formuler des observateurs de Luenberger pour de tels systèmes\, les méthodes d’assimilation séquentielle des données les plus classiques\, notamment le filtre de Kalman et ses extensions non linéaires\, sont formulées exclusivement dans des espaces euclidiens et ne sont pas adaptées à ces configurations. \nDans cette présentation\, nous proposons un cadre déterministe pour le filtrage optimal sur les variétés. À partir d’un modèle dynamique en temps continu avec des observations en temps discret d’une trajectoire réelle\, nous introduisons une généralisation en variété du filtre de Mortensen en temps discret. L’estimateur optimal est caractérisé par une fonction de valeur\, qui est la solution d’une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman définie sur la variété d’état. Nous dérivons ensuite une formulation cohérente en temps continu ainsi qu’une discrétisation spatiale appropriée. \nAfin d’adapter le coût de calcul de cet algorithme pour des cas d’application en ingénierie\, nous proposons une approximation quadratique de la fonction de valeur. Cela conduit naturellement à une extension du filtre de Kalman étendu (EKF) au cadre des variétés. Enfin\, nous montrons comment le cadre proposé peut être étendu à l’assimilation de données dans l’espace des courbes en dotant cet espace d’une métrique riemannienne appropriée. Cela permet l’assimilation de données d’observation de contours\, telles que les contours extraits d’images satellites dans la propagation des feux de forêt. \nCe travail est commun avec Gaël Le Ruz et Damiano Lombardi.
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SUMMARY:EDP : Daniel Han-Kwan (université de Nantes et CNRS) : Limite semiclassique de NLS cubique pour les états mixtes
DESCRIPTION:Résumé :\nOn considère la limite semiclassique de l’équation de Schrödinger cubique pour les états mixtes. La limite formelle est une équation de Vlasov singulière (Vlasov-Benney dans le cas défocalisant).\nCette limite est justifiée pour des données initiales à régularité finie\, vérifiant une condition de stabilité de type Penrose. \nIl s’agit d’une collaboration avec Frédéric Rousset (Orsay).
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SUMMARY:EDP : Philippe Souplet (université Sorbonne Paris Nord) : Classification of entire and ancient solutions of the diffusive Hamilton-Jacobi equation
DESCRIPTION:Abstract: (joint work with Loth Chabi) We study the Liouville type classification and symmetry properties\,\nin \(R^n\) and in a half-space with Dirichlet boundary conditions\, for entire and ancient solutions of the diffusive Hamilton-Jacobi equation\,\nwhich arises in optimal stochastic control\, in KPZ type models of surface growth and in studies of boundary gradient blow-up. \nIn particular we obtain optimal Liouville type theorems for ancient and entire solutions in \(R^n\) and we completely classify entire solutions in a half-space.\nThe proofs rely\, among other things\, on new and optimal\, local estimates of Bernstein and Li-Yau type.\nSuch Liouville type results are very useful in the qualitative analysis of blow-up singularities for this equation.
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/edp-philippe-souplet-universite-sorbonne-paris-nord/
LOCATION:Bâtiment Fermat\, salle 4205
CATEGORIES:Séminaire EDP
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SUMMARY:EDP : Alexandre Ern (CERMICS\, ENPC) : Implicit-explicit schemes with SUPG stabilization for transient linear transport with diffusion
DESCRIPTION:We analyze Runge–Kutta (RK) implicit-explicit (IMEX) time-stepping schemes to approximate the Cauchy problem associated with a partial differential equation of convection-diffusion-type\, i.e.\, comprising a first-order part (the transport operator) and a second-order part (the diffusion operator). The proposed approach departs from the traditional method of lines\, as the transport part is discretized in space using continuous finite elements with streamline upwind Petrov–Galerkin (SUPG) stabilization\, whereas the diffusion part is discretized using the plain Galerkin method. Contraction in a suitable norm composed of the L^2-norm augmented with a term accounting for the SUPG stabilization is proved for the first-order Lie splitting scheme\, the second-order Strang splitting scheme\, and two third-order Runge–Kutta IMEX methods.  All these results require that the coefficient weighting the SUPG stabilization and the Courant number are small enough\, uniformly with respect to the local Peclet number. The contraction property of the third-order IMEX methods also assumes that the discrete diffusion and transport operators commute. This is joint work with Jean-Luc Guermond (Texas A&M).
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/edp-alexandre-ern-cermics-enpc/
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CATEGORIES:Séminaire EDP
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SUMMARY:EDP : Nailya Manatova (LMV) : Infinite point blow-up of the mass critical gKdV
DESCRIPTION:For the L2-critical generalized KdV equation\, blow-up is not possible for subcritical mass elements. A minimal mass blow-up exists\, as does a description of the flow for slightly supercritical mass elements. For such initial data\, a finite-time blow-up occurs with   \n\n  \( \|u_x\|_{L^2}\sim(T-t)^{-\nu} \)\n \nwhere \( \nu \) is the blow-up rate. We will focus on results concerning finite-time infinite-point blow-up\, which occurs for \( \nu  \geq 1/2 \). Previously\, the blow-up rate of such solutions was limited with a lower bound of 11/13; in my previous work\, this has been improved to 1/2 strictly.\nThis year I’ve constructed solutions with the blow up rate of 1/2. This rate is in the transition between infinite and finite point blow up\, and corresponds to slow blow up. We will discuss the construction of such solutions and their instability.
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/edp-nailya-manatova-lmv-finite-point-blow-up-of-the-mass-critical-gkdv/
LOCATION:Bâtiment Fermat\, salle 4205
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