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SUMMARY:EDP : Anne de Bouard (Polytechnique) : Mesure de Gibbs pour l’équation de Gross-Pitaevskii stochastique renormalisée en dimension deux
DESCRIPTION:Résumé : L’équation de Gross-Pitaevskii stochastique est un modèle champ moyen visant à décrire un condensat de Bose-Einstein proche de la température critique de condensation. Il s’agit d’une équation de Ginzburg-Landau complexe\, avec un potentiel confinant harmonique et un bruit blanc espace-temps additif. Nous discuterons dans cet exposé le cas de la dimension deux\, pour lequel une renormalisation est nécessaire. On construira la mesure de Gibbs pour cette équation\, qui est également formellement invariante pour l’équation de NLS avec potentiel harmonique en dimension deux. On montrera de plus que cette mesure est singulière par rapport à la mesure gaussienne naturelle.
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SUMMARY:EDP : Nathalie Ayi (Sorbonne Université)  : Graph limit et limite de champ moyen de systèmes de particules en interaction sur des graphes à poids déterministes et aléatoires
DESCRIPTION:Résumé : Lorsque l’on s’intéresse à des systèmes de particules en interaction\, deux catégories distinctes émergent : les systèmes indistinguables\, dans lesquels l’identité des particules n’influence pas la dynamique du système\, et les systèmes non échangeables\, dans lesquels l’identité des particules joue un rôle important. Une façon de conceptualiser ces seconds systèmes est de les considérer comme des systèmes de particules posés sur des graphes à poids. Dans cet exposé\, nous nous concentrons sur cette dernière catégorie. De récents développements dans la théorie des graphes ont suscité un regain d’intérêt pour la compréhension de limites en grande population de ces systèmes. Deux approches principales ont émergé : les limites de graphes et les limites de champ moyen. Alors que les limites de champ moyen ont traditionnellement été introduites pour des particules indistinguables\, elles ont récemment été étendues au cas des particules non échangeables. Dans cette présentation\, nous introduisons plusieurs modèles\, principalement issus du domaine de la dynamique d’opinions\, pour lesquels des résultats de convergence rigoureux lorsque N tend vers l’infini ont été obtenus. Nous clarifions également le lien entre l’approche de limite de graphe et celle de limite de champ moyen. Les travaux discutés sont issus de plusieurs articles\, co-écrits entre autres avec Nastassia Pouradier Duteil et David Poyato.
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SUMMARY:EDP : Corrie James (LMV) : Approximation numérique du problème de continuation unique enrichi par une base de données pour les équations de Stokes
DESCRIPTION:Ce travail étudie le problème de la continuation unique pour les équations de Stokes étant donné une base de données de mesures de population. Le problème est posé comme problème de minimisation sous la contrainte d’une EDP et discrétisé par la méthode des éléments finis. Il est régularisé par les données de population\, en imposant que la solution vive proche d’un sous-espace de dimension fini généré par la base de données. Cette étude examine dans quelle mesure l’inclusion des données de population dans la résolution améliore les résultats théoriques et numériques. La méthode proposée permet l’obtention des estimations d’erreur globales pour la vitesse et la pression\, à une vitesse de convergence améliorée. L’inclusion des données de population a aussi un impact très avantageux sur les tests numériques\, en 2D comme en 3D\, et surtout quand les mesures sont peu abondantes.
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SUMMARY:EDP : Guillaume Rialland (LMV) : Stabilité asymptotique des solitons pour l'équation de Schrödinger 1D proche du cas cubique
DESCRIPTION:Dans le cadre d’équations dispersives nonlinéaires\, les solitons sont des solutions ayant la forme d’ondes solitaires\, possédant habituellement de fortes propriétés de stabilité par perturbation. On s’intéresse ici à des perturbations de l’équation de Schrödinger cubique en dimension 1. En perturbant l’équation cubique au moyen d’une semi-linéarité g\, je présenterai une condition suffisante sur la fonction g pour qu’il y ait effectivement stabilité asymptotique des solitons de petite pulsation.\nEn réalité\, le signe de la non-linéarité g influe sur l’existence ou non d’un « mode interne »\, à savoir une solution d’un certain problème spectral stationnaire. Je discuterai l’influence de la fonction g ainsi que les conséquences que l’existence d’un mode interne ont sur la preuve de la stabilité asymptotique.
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SUMMARY:EDP : Rémi Bousquet (LMV) : Analyse des grandes échelles de l'écoulement de Von Karman Sodium
DESCRIPTION:Nous avons considéré plusieurs géométries et configurations numériques pour modéliser et simuler l’expérience de Von Karman Sodium (VKS). Le résultat le plus frappant est que l’ajout d’une couche de sodium immobile autour du cylindre contenant l’écoulement de sodium permet des renversements du champ magnétique. Dans l’expérience Von Karman Sodium\, un champ magnétique statistiquement stationnaire est d’abord créé par la rotation de turbines en fer\, et entretenu par l’écoulement de von Karman\, avant qu’une autre branche de solutions ne devienne accessible\, conduisant à des inversions périodiques ou erratiques du champ magnétique. Les conditions d’accès et la dynamique du système sur la branche d’inversion semblent dépendre fortement de la modélisation des turbines dans nos simulations\, qui sont le terme source principal de l’écoulement\, à la fois pour le champ de vitesse et le champ magnétique. Nous présenterons quelques résultats récents de simulations utilisant le code SFEMaNS\, et des analyses basées sur la POD (décomposition en modes propres).
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SUMMARY:EDP : Maxime Zavidovique (Sorbonne Université) : Convergence de solutions d’équations d’Hamilton-Jacobi escomptées sans (trop de) monotonie
DESCRIPTION:On s’intéresse à des solutions d’équations d’Hamilton-Jacobi de la forme \nG(x\, D_x u \, lambda u(x) ) = C \noù $G(x\,p\,u) : T^N x R^N x R -> R$ où T^N est le tore de dimension N\, G est un Hamiltonien qui vérifie des hypothèses de convexité et coercivité par rapport à la variable p et C est une constante judicieusement choisie. Plus particulièrement\, on veut comprendre le comportement de solutions (u_lambda) quand lambda tend vers 0. \nOn présentera des situations où les (u_lambda) convergent forcément et d’autres où l’on peut avoir divergence. On expliquera aussi le lien entre ces fonctions et des problèmes de contrôle ainsi que les propriétés dynamiques de ses solutions d’équations d’Hamilton-Jacobi.
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SUMMARY:EDP : Jean-Marie Mirebeau (ENS Paris-Saclay) : discrétisation de la formulation de Benamou-Brenier Ballistique de l'équation des milieux poreux
DESCRIPTION:Je présenterai la discrétisation\, la convergence\, et l’implémentation numérique\, de reformulations récentes de l’équation quadratique des milieux poreux (multi-dimensionelle et anisotrope) et de l’équation de Burgers (unidimensionelle\, avec viscosité optionnelle)\, sous la forme de variantes évolutives de la formulation de Bénamou-Brenier du transport optimal. L’approche proposée reformule ces problèmes d’évolution en problèmes d’optimisation globaux en temps et en espace\, d’ordre deux et inconditionellement stables par rapports aux pas de discrétisation\, dont la résolution numérique est fondée sur des algorithmes proximaux et une transformée de Fourier globale temps-espace.
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SUMMARY:EDP : Yves Capdeboscq (université Paris Cité) : Le camouflage sans peine
DESCRIPTION:Les travaux sous-jacent à cet exposé sont une collaboration avec Michael Vogelius d’une part\, et d’une partie du travail de thèse d’Eleanor Gemida d’autre part. \nDans un domaine régulier borné Ω de ℝd\, avec B2:={x : ||x|| ≤ 2} ⊂ Ω\, l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann associé à une fonction matricielle définie positive A ∈ L ∞ (Ω ; ℝ d × d ) est défini par\n\[\n\Lambda_A : H^{\frac{1}{2}}(\partial \Omega) \to H^{-\frac{1}{2}}(\partial \Omega)\,\n\]\n\[\n\phi \mapsto A \nabla u \cdot n \quad \text{où} \quad\n\begin{cases}\n– \text{div}(A \nabla u) = 0 & \text{dans } \Omega\, \\\nu = \phi & \text{sur } \partial \Omega.\n\end{cases}\n\] \nPour ρ ∈ ]0\,1[\, un masquage approché d’ordre ρ  pour l’équation de conductivité est une fonction aρ ∈ L ∞(Ω \ B1; ℝ d × d ) telle que\, pour tout γ dans L ∞(B1; ℝ d × d )\, la conductivité définie par\n\[\nA_{\gamma\,\rho} =\n\begin{cases}\na_\rho & \text{dans } \Omega \setminus B_1\, \\\n\gamma & \text{dans } B_1\,\n\end{cases}\n\]\nvérifie\n\[\|\Lambda_{A_{\gamma\,\rho}} – \Lambda_{I_d}\| \leq C \rho^d\]\noù C est indépendante de γ.\nLa méthode de camouflage par transformation a fourni une approche mathématique pour construire de tels masquages approchés. Le coefficient aρ est à la fois anisotrope et spatialement variable\, et peut être interprété comme un matériau composite. \nDans cette présentation\, nous discutons d’un critère d’optimalité des masquages approchés\, et nous construisons masquages approchées isotropes par morceaux pouvant être construits par addition de matière en couches successives de trois matériaux différents.
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SUMMARY:EDP : Olivier Delestre (université Nice Sophia Antipolis) : Défis numériques de la simulation du ruissellement : méthodes\, maillages et modèles
DESCRIPTION:La modélisation du ruissellement à surface libre sur des bassins versants naturels pose des défis importants tant du point de vue physique que numérique. Les faibles hauteurs d’eau\, les transitions entre zones sèches et mouillées et les états d’équilibre rendent délicate la résolution des équations de Saint-Venant. Parmi les méthodes numériques adaptées\, la reconstruction hydrostatique (Audusse et al.\, 2004) garantit la préservation des états au repos\, mais montre ses limites lorsque le maillage devient grossier. Des alternatives plus récentes\, telles que la méthode de (Chen & Noelle\, 2017)\, semblent surmonter certaines de ces difficultés.\nDans ce travail\, nous discutons également du rôle du choix des lois de frottement et de la structure du maillage sur la cohérence physique des simulations. L’essor des ressources de calcul (HPC CPU & GPU) permet désormais des simulations fines (résolution métrique) sur des domaines étendus (~70 km²). Cependant\, un compromis reste nécessaire pour des applications réalistes raisonnables. Nous présentons une approche de maillage adaptatif fondée sur des critères morphométriques\, développée avec Pierfranco Costabile\, qui permet de préserver la dynamique du bassin tout en limitant le coût de calcul. Cette approche soulève des questions intéressantes sur la robustesse des méthodes numériques classiques dans des contextes de maillage hétérogène\, en particulier pour la modélisation du ruissellement à grande échelle.
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SUMMARY:EDP : Simon Schulz (LMV\, UVSQ) : Régularité à la De Giorgi pour une équation parabolique non-locale dégénérée
DESCRIPTION:On s’intéresse à une équation d’évolution non-locale et dégénérée provenant d’une limite formelle de systèmes à grand nombre de particules auto-propulsées (dit systèmes actifs browniens\, qui interviennent en modélisation en sciences biologiques et sociales). On démontre que toute solution faible provenant de données initiales suffisamment régulières est en fait lisse pour tout temps positif. La preuve s’appuie sur des techniques de minoration qui exploitent la méthode de De Giorgi/itérations Moser. De plus\, en utilisant ce résultat de régularité\, on démontre l’unicité des solutions faibles. Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec Luca Alasio (LJLL\, Sorbonne Université).
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SUMMARY:EDP : Antonin Chambolle (université Paris Dauphine) : Analyse d'approximations du mouvement par courbure moyenne basées sur des réseaux de neurone
DESCRIPTION:Dans une série de travaux récents\, (Bretin et al) ont proposé plusieurs approches basées sur des réseaux de neurones pour « apprendre » et reproduire des flots géométriques (mouvement par courbure moyenne\, mouvement d’interfaces non-orientées\, flot de type Willmore…)\nDans cet exposé\, on s’intéressera au flot le plus élémentaire\, le mouvement par courbure moyenne des bords d’ensembles\, et on analysera la consistance de deux schémas numériques très simples\, qui expliquent (partiellement) pourquoi l’approximation par réseaux de neurones est si facile à mettre en œuvre dans ce cadre.
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SUMMARY:EDP : Sonia Fliss (ENSTA) : Wave propagation in quasi-periodic media
DESCRIPTION:This work\, done in collaboration with Pierre Amenoagbadji (Columbia University) and Patrick Joly (POEMS)\, is devoted to the solution of the Helmholtz equation in 1D unbounded quasiperiodic media. By this we mean that the coefficients appearing in the model are quasiperiodic functions of the 1D space variable\, namely the trace along a line of a periodic function of n variables. \nWhen the coefficients are periodic (which is a special case)\, several methods have been proposed to characterize and compute the solution. However\, when the coefficients are quasi-periodic without being periodic\, the above methods cannot be applied directly. \nWe use an original method\, that we call the lifting method\, which has been used in several papers on homogenization theory. The original problem can thus be lifted to an nD « augmented » problem with periodic coefficients\, and the 1D solution is the trace along this line of the nD solution. The advantage is that the periodicity of the augmented problem enables to use the ideas proposed for solving periodic Helmholtz equations in periodic waveguides. However\, since the augmented equation is a degenerate elliptic equation\, the corresponding tools have to be adapted since new difficulties arise both in the analysis and in the design of the resulting numerical method. \nI will present our results for the Helmholtz equation with dissipation (where the solution decays at infinity) and then for the equation without dissipation (where the solution can propagate to infinity)\, analyzing the latter case using a limiting absorption principle.
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SUMMARY:EDP : Nicola Visciglia (université de Pise) : Smoothing effect for the scattering operator associated with 1-d NLS and generalized KdV
DESCRIPTION:In the first part of the seminar we recall the definition and main classical results about nonlinear scattering for solutions to 1-d NLS and gKdV. In the second part of the seminar we present new results about the structure of the scattering operator and some related smoothing properties.\nThis a joint work with N. Burq\, H. Koch\, N. Tzvetkov.
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SUMMARY:EDP : Nikita Simonov (LJLL\, Sorbonne université) : L’inégalité de Sobolev logarithmique : stabilité\, instabilité et taux de convergence améliorés pour le flot d’Ornstein–Uhlenbeck
DESCRIPTION:Dans certaines inégalités fonctionnelles\, les meilleures constantes et les minimiseurs sont connus. Une question naturelle est alors celle de la stabilité : si une fonction « atteint presque l’égalité »\, dans quel sens est-elle proche de l’un des minimiseurs ? Nous présenterons un résultat récent sur la stabilité quantitative pour l’inégalité de Sobolev logarithmique\, relative à la mesure gaussienne. Notre approche repose sur la méthode du carré du champ appliquée à l’équation d’Ornstein–Uhlenbeck\, ce qui permet d’obtenir des estimations entièrement constructives. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Giovanni Brigati (ISTA) et Jean Dolbeault (CEREMADE–Dauphine).
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SUMMARY:EDP : Cécile Taing (université de Poitiers) : On the Fisher infinitesimal model without variability
DESCRIPTION:We study the long-time behavior of solutions to a model of sexual populations structured\nin phenotypes. The model features a nonlinear integral reproduction operator derived from\nthe Fisher infinitesimal operator and a linear trait-dependent selection term. The reproduction\noperator describes here the inheritance of the mean parental traits to the offspring without\nvariability.\nFirst\, we show that\, under assumptions on the growth of the selection rate\, Dirac masses are\nstable around phenotypes for which the difference between the selection rate and its minimum\nvalue is less than 1/2. Then\, we prove the convergence in some Fourier-based distance of\nthe centered and rescaled solution to a stationary profile under some conditions on the initial\nmoments of the solution. The use of the Fourier-distance for probability measures has been\ninspired from the work of Lorenzo Pareschi and Giuseppe Toscani in 2006 for kinetic models of\nBoltzmann-Maxwell type.\nThis work has been done in collaboration with Amic Frouvelle (Université Paris Dauphine).
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SUMMARY:EDP : Maxime Zavidovique (IMJ\, Sorbonne université) : équations d’Hamilton-Jacobi amorties
DESCRIPTION:On s’intéresse à des équations du type\n\( \lambda a(x) u(x) + H(x\, D_x u) = \text{constante} \)\noù l’inconnue est définie sur un tore \( T^d \) et l’hamiltonien \( H \) est défini sur \( T^d \times \mathbb{R}^d \) et satisfait des hypothèses de convexité et de coercivité. Les graphes des 1-jets des solutions vérifient des propriétés d’invariance par un flot de contact associé.\nOn expliquera aussi comment le signe de la fonction \( a \) affecte drastiquement l’unicité ou non des solutions et le comportement asymptotique des solutions quand \( \lambda \to 0_+ \).
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/edp-maxime-zavidovique-imj-sorbonne-universite/
LOCATION:Bâtiment Fermat\, salle 4205
CATEGORIES:Séminaire EDP
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SUMMARY:EDP : Lucie Baudouin (LAAS & CNRS\, Toulouse) : From Stability to Reconstruction: Carleman-Based Algorithms for Wave Equation Coefficients
DESCRIPTION:This talk focuses on the reconstruction of unknown coefficients in the wave equation\, leveraging the power of Carleman inequalities. We aim at designing a global reconstruction algorithm for coefficients – such as time-independent potentials or wave propagation speeds – from Neumann boundary measurements of the solution. We begin by revisiting the historical foundations of uniqueness and stability results for this inverse problem\, established over 25 years ago using local and global Carleman estimates. Building on these insights\, we present a more recently developed reconstruction algorithm that exploits the same technical tools to ensure global convergence\, avoiding possible local minima encountered by conventional methods. The algorithm is grounded in the minimization of a functional derived from the Carleman weight function\, directly inspired by the stability proof strategy. The talk will outline the key steps in proving the algorithm’s convergence for reconstructing coefficients in bounded domains or networks. These works are the result of various long-standing collaborations with Maya de Buhan\, Emmanuelle Crépeau\, Sylvain Ervedoza\, Axel Osses\, and Julie Valein.
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/edp-lucie-baudouin-laas-cnrs-toulouse/
LOCATION:Bâtiment Fermat\, salle 4205
CATEGORIES:Séminaire EDP
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SUMMARY:EDP : Luc Robbiano (LMV) : Stabilisation des équations des ondes avec un amortissement interne retardé
DESCRIPTION:On présentera le modèle et on donnera des exemples où le retard déstabilise complètement le système même pour des petits retards.\nOn donnera aussi des résultats de stabilisation exponentielle sous une condition analogue à la condition de contrôle géométrique dans le contexte des variétés sans bord. Ce résultat repose sur une étude pour sur les petites fréquences\, dans ce cas on supposera le retard petit et une étude à hautes fréquences.
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/edp-luc-robbiano-lmv/
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CATEGORIES:Séminaire EDP
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SUMMARY:EDP : Nicolas Camps (Université de Rennes) : Gibbs measure for NLS on the 2-sphere
DESCRIPTION:Abstract : The Gibbs measure problem consists in constructing a unique global invariant flow supported by the measure itself. We address this problem for the cubic nonlinear Schrödinger equation posed on the two-dimensional sphere \(\mathbb{S}^2\). In this setting\, concentration phenomena along certain geodesics rule out the perturbative approaches that are effective on the torus. To overcome these instabilities\, we develop a non-perturbative scheme based on a refined analysis of the probabilistic structure of approximate solutions. \nJoint work with N. Burq\, C. Sun\, and N. Tzvetkov
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/edp-nicolas-camps-universite-de-rennes/
LOCATION:Bâtiment Fermat\, salle 4205
CATEGORIES:Séminaire EDP
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SUMMARY:EDP : Philippe Moireau (Ecole Polytechnique) : Observateur de Mortensen dans les variétés et application à la propagation des feux de forêt
DESCRIPTION:L’assimilation de données vise à combiner de manière optimale les modèles dynamiques des systèmes physiques avec les mesures disponibles afin d’estimer l’état ou les paramètres du système. Dans de nombreuses applications\, l’état ou l’espace d’observation est constitué de données de type contour\, plus précisément de courbes fermées. Bien qu’il y ait eu des tentatives pour inclure ce type d’informations dans des retours d’état afin de formuler des observateurs de Luenberger pour de tels systèmes\, les méthodes d’assimilation séquentielle des données les plus classiques\, notamment le filtre de Kalman et ses extensions non linéaires\, sont formulées exclusivement dans des espaces euclidiens et ne sont pas adaptées à ces configurations. \nDans cette présentation\, nous proposons un cadre déterministe pour le filtrage optimal sur les variétés. À partir d’un modèle dynamique en temps continu avec des observations en temps discret d’une trajectoire réelle\, nous introduisons une généralisation en variété du filtre de Mortensen en temps discret. L’estimateur optimal est caractérisé par une fonction de valeur\, qui est la solution d’une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman définie sur la variété d’état. Nous dérivons ensuite une formulation cohérente en temps continu ainsi qu’une discrétisation spatiale appropriée. \nAfin d’adapter le coût de calcul de cet algorithme pour des cas d’application en ingénierie\, nous proposons une approximation quadratique de la fonction de valeur. Cela conduit naturellement à une extension du filtre de Kalman étendu (EKF) au cadre des variétés. Enfin\, nous montrons comment le cadre proposé peut être étendu à l’assimilation de données dans l’espace des courbes en dotant cet espace d’une métrique riemannienne appropriée. Cela permet l’assimilation de données d’observation de contours\, telles que les contours extraits d’images satellites dans la propagation des feux de forêt. \nCe travail est commun avec Gaël Le Ruz et Damiano Lombardi.
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/edp-philippe-moireau-ecole-polytechnique/
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SUMMARY:EDP : Daniel Han-Kwan (université de Nantes et CNRS)
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SUMMARY:EDP : Philippe Souplet (université Sorbonne Paris Nord)
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SUMMARY:EDP : Alexandre Ern (CERMICS\, ENPC) : Convergence of ERK-DG approximations of the first-order form of Maxwell's equations with low regularity
DESCRIPTION:We establish a convergence result for the approximation of low-regularity solutions to time-dependent PDE systems that have an involution structure similar to Maxwell’s equations and the linear wave equations.\nThe approximation is based on an explicit Runge–Kutta (ERK) time-stepping and the discontinuous Galerkin (dG) method with stabilization (so-called upwind fluxes) in space. The regularity setting only assumes that the exact solution and its first time-derivative are in L∞(0\,T;Hs(Ω)) with a Sobolev regularity index s in ]0\,1/2[ (here\, T is the time horizon and Ω the space domain)\, and that its second time-derivative is in L∞(0\,T;L2(Ω)).\nThe two main tools for the convergence analysis are a Ritz projection in space that leverages recent convergence results in operator norm for the dG approximation of the steady form of the PDE\, and the L2-stability under a standard CFL condition of three-stage\, third-order and four-stage\, fourth-order ERK schemes. These latter results are known in the literature\, but we provide here a somewhat simpler argumentation to prove the $L2$-stability. This is joint work with J.-L. Guermond (Texas A&M).
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