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SUMMARY:AG : Journée du Séminaire différentiel (02/04/2019)
DESCRIPTION:Programme :\n10h30 : accueil \n11h00-12h00 – Zoé Chatzidakis  : Clôtures aux différences \nRésumé :  Il est bien connu qu’un corps différentiel de caractéristique 0 a une clôture différentielle\, et que celle-ci est unique à isomorphisme près. La question se pose alors naturellement : en est-il de même pour la clôture aux différences d’un corps aux différences ?\nUn corps aux différences K est clos si tout système fini d’équations aux différences qui a une solution dans une  extension de K a déjà une solution dans K. On dit que L est une clôture aux différences du corps aux différences K si L est clos\, et se K-plonge dans toute extension aux différences close M de K.   Je montrerai par des exemples que ces clôtures n’existent pas toujours\, même en imposant les conditions naturelles sur le corps aux différences K.\nOn peut renforcer la notion de clôture\, en exigeant par exemple que tout système dénombrable d’équations aux différences qui a une solution dans une extension a une solution. Si K est un corps aux différences de caractéristique 0 algébriquement clos et dont le corps fixe est pseudo-fini et satisfait la condition analogue pour les équations polynomiales\, on peut alors montrer qu’une clôture forte de K  existe et est unique à isomorphisme près. \n  \n12h15-14h15  : déjeuner à la Brasserie EDF R&D \n  \n14h30-15h30 – Gilles Christol  : Les exposants ou le côté obscur des équations différentielles p-adiques (téléchargez ici le pdf de la présentation) \nRésumé : Lorsque des nombres de Liouville interviennent dans les exposants d’une équation différentielle p-adique le comportement de ses solutions peut être très inattendu\, avec des cercles successifs de pathologies de plus en plus difficiles à contrôler. Heureusement\, les équations différentielles « qui viennent de la géométrie (en caractéristique p) » ont des exposants rationnels. Toutefois cette situation agréable n’est pas toujours préservée dans les constructions et l’existence de cas Liouville rend les démonstrations nettement plus délicates. C’est probablement l’une des raisons rendant la cohomologie p-adique plus difficile que les cohomologies ℓ-adiques. \n15h45-16h45 – Joris van der Hoeven  : Autour du calcul numérique de groupes de Galois différentiels (téléchargez ici le pdf de la présentation) \nRésumé : Considérons une équation différentielle linéaire L(f) = 0 d’ordre r\, dont les coefficients sont des polynômes à coefficients rationnels. Si l’équation n’admet que des singularités régulières\, un théorème classique de Schlesinger dit que son groupe de Galois différentiel est engendré en tant que sous groupe algébrique de GL(r) par les matrices de monodromie autour des singularités de L. Ce « théorème de densité » se généralise au cas non-Fuchsien en considérant également des matrices de Stokes. Le but de cet exposé est de montrer que ces théorèmes peuvent être rendus effectifs dans une large mesure. Comme application\, cela permet de réduire certains problèmes a priori algébriques concernant l’opérateur L (comme la factorisation de L) à des problèmes d’algèbre linéaire avec comme coefficients des nombres complexes « holonômes ».
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SUMMARY:AG : Journée du Séminaire différentiel (02/10/2018)
DESCRIPTION:Programme :\n10h30 : café\, LMV\, maison 3 \n11h15-12h15 : Marni Mishna (Simon Fraser University\, Vancouver\, Canada)\, Les Coefficients de Kronecker: Combinatoire et Calcul \nRésumé : En combinatoire algébrique on cherche à donner des interprétations naturelles aux quantités provenant de la théorie des représentations. Les coefficients de Littlewood-Richardson\, par exemple\, ont de nombreuses interprétations combinatoires. Les coefficients de Kronecker sont liés aux coefficients de Littlewood-Richardson\, mais ils sont restés insaisissables\, malgré l’intérêt qu’ils ont suscité depuis les années 1930. Même décider si un coefficient est non-nul est difficile. Cet exposé examinera de manière générale les définitions et les progrès récents\, en interprétant les coefficients de Kronecker\, puis passera directement à un territoire plus familier. Je décrirai deux méthodes pour calculer les coefficients de Kronecker\, qui utilisent des équations différentielles. La première technique exprime les familles de coefficients de Kronecker en tant que diagonales de fractions rationnelles. La seconde technique utilise un cousin du télescopage créatif pour trouver des équations différentielles pour les fonctions génératrices de coefficients de Kronecker. Idéalement\, la connaissance de leur origine et d’autres résultats de calculs similaires mènera à une nouvelle compréhension combinatoire\, ou nous aidera à expliquer pourquoi ces nombres sont si résistants à l’analyse.\nC’est un travail en collaboration avec Mariolys Rivas\, Mercedes Rosas et Sheila Sundaram. \n14h15-15h15 : Reinhard Schäfke (IRMA\, Université de Strasbourg)\, Systèmes cohérents d’équations linéaires différentielles et aux différences \nRésumé : Travail en commun avec Michael Singer (NCSU).\nOn considère des systèmes cohérents d’équations différentielles et aux différences linéaires à coefficients rationnelles contenant la dérivation d/dx et les opérateurs définis par f(x)=x+1\, qx (q non nul et pas racine de l’unité) ou x^q (q entier >1). On montre que ces systèmes peuvent être réduits à des systèmes très simples. Ceci permet de caractériser les fonctions satisfaisant deux équations différentielles et aux différences linéaires scalaires utilisant ces opérateurs. \n15h30-16h30 : Evelyne Hubert (INRIA\, Sophia Antipolis)\, Sparse Interpolation in Terms of Multivariate Chebyshev Polynomials \nRésumé :\nGiven a multivariate polynomial that can be evaluated at chosen point\, sparse interpolation offers to first recover the support of this polynomial. We examine the situation where the polynomial is assumed to consist of a small number of generalized multivariate Chebyshev polynomials\, as associated to Weyl groups.\nThis is joint work with Michael Singer (North Carolina State University)
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LOCATION:Bâtiment Fermat\, amphi G\, 45 avenue des Etats-Unis\, Versailles\, 78000\, France
CATEGORIES:Séminaire AG,Séminaire différentiel
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SUMMARY:Journée « Algèbre différentielle et calcul formel  » (03/10/2017)
DESCRIPTION:Programme :\n10h30: café\, LMV\, maison 3 \n11h15-12h15:\nBruno Salvy (LIP – ENS Lyon)\,\nFractions continues explicites pour des équations de type Riccati \nRésumé : La plupart des C-fractions explicites classiques sont des cas particuliers de fractions continues dues à Euler et Gauss pour le quotient de séries hypergéométriques contiguës. Ces séries sont solutions d’équation de Riccati\, à partir desquelles ces fractions continues peuvent être obtenues directement par une méthode due à Lagrange. Dans ce travail\, nous abordons la méthode de Lagrange d’un point de vue symbolique\, pour déterminer toutes les équations pour lesquelles elle donne des fractions continues explicites. Les résultats classiques sont ainsi obtenus de manière unifiée\, ainsi que leurs q-analogues (des fractions continues dues à Heine). La méthode s’applique aussi aux équations de Riccati discrètes et fournit alors en cas particulier une fraction continue due à Brouncker sur la fonction Gamma. Il s’agit d’un travail joint avec Sébastien Maulat. \n14h15-15h15:\nJoelle Saadé (XLIM\, Limoges)\,\nUne nouvelle approche pour la réduction formelle de systèmes différentiels linéaires singuliers en utilisant des eigenrings \nRésumé :\nNous combinons deux sources de travaux. D’une part\, les méthodes de réduction formelle de Balser\, Jurkat\, Lutz\, Hilali\, Wazner\, Barkatou\, Pflugel\, Loday-Richaud\, etc; d’autre part\, les techniques de decomposition/factorisation par eigenring de Singer\, Barkatou\,\netc.\nLe résultat est une nouvelle approche de décomposition formelle de système différentiel linéaire. Nous obtenons une décomposition certifiée. Nous minimisons et retardons au maximum les extensions de corps qui apparaissent naturellement dans la solution formelle. \n15h30-16h30:\nThomas Cluzeau (XLIM\, Limoges)\,\nSur le problème d’équivalence des systèmes fonctionnels linéaires  \nRésumé :\nDans l’approche de la théorie des systèmes linéaires par l’analyse algébrique\, nous étudions le problème d’équivalence des systèmes fonctionnels linéaires\, c’est-à-dire le problème de caractériser quand toutes les solutions de deux systèmes fonctionnels linéaires sont en bijection.\nLa première partie de l’exposé donnera une version constructive d’un théorème de Fitting qui affirme que deux modules de présentation finie sont isomorphes si et seulement si leurs matrices de présentation peuvent être élargies par des blocs de 0 et de matrices identité de sorte que les matrices obtenues sont équivalentes.\nLa deuxième partie de l’exposé présentera une nouvelle caractérisation de l’isomorphisme entre deux modules de présentation\nfinie en terme d’extensions de leurs matrices de présentation. Nous en déduirons différents isomorphismes qui sont des conséquences\ndu problème de complétion unimodulaire et qui permettent de compléter et raffiner des résultats existants sur le problème de la\nréduction de Serre.\nTous les résultats présentés sont algorithmiques pour des anneaux sur lesquels les techniques de bases de Gröbner existent et les calculs peuvent être obtenus par les packages Maple OreModules et OreMorphisms.\nCes travaux ont été réalisés en collaboration avec Alban Quadrat (INRIA Lille – Nord Europe).
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/journee-algebre-differentielle-et-calcul-formel-03-10-2017/
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SUMMARY:Journée « Développements récents en théorie de Galois différentielle  » (21/02/2017)
DESCRIPTION:Programme :\n\n11h00-12h00 : Edoardo Corel (Université Pierre et Marie Curie)\nMembranes de Gérard-Levelt: calcul tropical d’invariants de systèmes différentiels linéaires.\n\nRésumé :  J’exposerai une application inattendue de la géométrie tropicale au calcul du rang de Katz d’une connexion méromorphe. Celle-ci repose sur une interprétation géométrique de résultats classiques de Gérard et Levelt comme une procédure de projection tropicale sur un sous-ensemble convexe (la membrane de Gérard-Levelt) de l’immeuble affine de Bruhat-Tits associé. \n\n14h15-15h15 : Thomas Dreyfus (Université Lyon I).\nNature des séries génératrices des marches dans le quart de plan.\n\nRésumé :  L’étude de la nature des séries génératrices des marches dans le quart de plan est un sujet de recherche fécond. Plus précisément\, on fixe un certains nombres de directions\, et on considère la série génératrice qui encode le nombre de chemins allant de l’origine à un point donné en suivant ces directions. La question naturelle est alors de savoir si cette série génératrice est algébrique\, solution d’une équation différentielle linéaire\, ou même solution d’une équation différentielle polynomiale. Dans les deux premiers cas\, le problème avait déjà été résolu mais la question restait entière pour le troisième. Dans cet exposé\, nous verrons comment la théorie de Galois différentielle permet de déterminer\, suivant les directions autorisées\, si la série génératrice est solution d’une équation différentielle polynomiale ou non.\nIl s’agit d’un travail en commun avec C. Hardouin\, J. Roques\, M. Singer. \n\n15h30-16h30 : Jacques-Arthur Weil (Université de Limoges)\nFormes réduites de systèmes différentiels linéaires\, aspects effectifs.
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/journee-developpements-recents-en-theorie-de-galois-differentielle-21-02-2017/
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SUMMARY:Journée "Équations différentielles et géométrie complexe" (11/10/2016)
DESCRIPTION:Programme :\n\n11h-12h : Frank LORAY (IRMAR – CNRS & Univ. Rennes 1) Structures projectives et voisinages de courbes rationnelles\n\nRésumé : On s’intéresse à un avatar local de la dualité entre points et droites du plan projectif\nque l’on trouve dans les travaux de Cartan\, Arnold et la thèse de Le Brun.\nLes droites sont remplacées par un système de géodésiques locales pour une connection\nprojective (=structure projective) sur un germe de surface et l’espace dual (espace des géodésiques)\nest une surface dont les géodésiques sont courbes d’auto-intersection +1.\nDans un travail en cours avec Maycol Falla Luza\, nous essayons de mieux comprendre\nle dictionnaire entre ces deux objets. \n\n14h15-15h15 : Guy CASALE (IRMAR – Univ. Rennes 1) Irréductibilité des équations de Painléve discrètes \n\nRésumé : J’expliquerai pourquoi une équation différentielle avec un « gros » pseudogroupe de Malgrange est irréductible ainsi que son analogue pour les équations aux différences. Un théorème de spécialisation de Damien Davy permet de calculer ce pseudogroupe pour les équations de Painlevé (ayant des paramètres tres généraux). Il obtient ainsi une nouvelle preuve de l’irréductibilité des équations de Painlevé.\nLes équations de Painlevé discrètes confluent vers des équations de Painlevé lorsque le pas h tend vers 0. L’étude de la limite du pseudo-groupe de Malgrange lorsque h tend vers 0\, nous permet de montrer que\, de manière très générale\, le pseudo-groupe de Malgrange d’une équation de Painlevé discrète est « gros ». \n\n15h30-16h30 : Gaël Cousin Orbites finies des groupes de tresses sur les Aff(C)-variétés de caractères de la sphère épointée.\n\nRésumé : Je présenterai un travail en commun avec Delphine Moussard.\nIl s’agit d’une étude exhaustive des orbites mentionnées dans le titre.\nOn se ramène à étudier une famille de représentations linéaire du groupe de tresses pures sur le disque.\nLe cas de la sphère épointée quatre fois a été étudié par H.A. Schwarz. Par confluence on en tire des informations fortes pour les autres cas.\nLa théorie des groupes de réflexions complexes permet de conclure. On donnera des tables d’orbites\, avec caractérisation géométriques de leurs éléments et taille de l’orbite.\nOn expliquera les liens avec certains problèmes d’algébricité dans la théorie des équations différentielles (fonctions hypergeométriques\, déformations isomonodromiques). \nMentionnons que cette action a aussi été étudiée par Deligne et Mostow dans une autre but : pour donner des réseaux non-arithmétiques de PU(1\,d) (hors programme).
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SUMMARY:Journée du Séminaire différentiel (17/11/2015)
DESCRIPTION:Programme :\n\n10h00-10h30 : Daniel Bertrand (U. Paris 6)\, Un groupe de Galois pour les équations schwarziennes ?\n\n\npause café\n\n\n11h00-11h30 : Charlotte Hardouin (U. Toulouse 3)\, Hypertranscendance des séries génératrices de suites p-automatiques\n\n\n11h40-12h10 : Zoé Chatzidakis (CNRS – ENS)\, Groupes définissables dans les corps aux différences. \n\n\ndéjeuner\n\n\n14h-15h : Julien Roques (U. Grenoble 1)\, A propos des singularités intermédiaires des équations aux q-différences\n\n\n15h15-16h15 : Antoine Chambert-Loir (U. Paris 7)\, Un théorème d’Ax-Lindemann non archimédien\n\n\n16h30-17h30 : Patrice Philippon (CNRS- U. Paris 6\, sous réserve)\, Théorie de Galois et valeurs de fonctions de Mahler
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SUMMARY:Journée "Combinatoire et équations fonctionnelles" (21/01/2014)
DESCRIPTION:Programme  :\n10h30 : accueil des participants\, café \n11h-12h : M. Wibmer (RWTH Aachen)\,\nSkolem-Mahler-Lech type theorems and Picard-Vessiot theory \nRésumé  : After recalling some basics of the Galois theory of linear difference equations\, I will explain how this theory can be applied to study holonomic sequences. In particular\, I will point out a connection between this Galois theory and a generalization of the Skolem-Mahler-Lech theorem to rational function coefficients. \n14h-15h : A. Bostan (SpecFun\, INRIA Saclay)\,\nComputer Algebra for Lattice Path Combinatorics \nRésumé  : Classifying lattice walks in restricted lattices is an important problem in enumerative combinatorics. Recently\, computer algebra methods have been used to explore and solve a number of difficult questions related to lattice walks. In this talk\, we will give an overview of recent results on structural properties and explicit formulas for generating functions of walks in the quarter plane\, with an emphasis on the algorithmic methodology. \n15h30-16h30 :\nM. Bousquet-Mélou (CNRS et Université Bordeaux 1)\,\nPermutations sortable by two parallel stacks and quarter plane walks. \nRésumé  : The problem of enumerating the permutations that can be sorted using two stacks in parallel has stood open since it was raised in the early 1970s. We solve it by giving a pair of functional equations that characterizes the generating function of permutations that can be sorted with two parallel stacks. The first component of this system describes the generating function Q(a\,u) of square lattice loops confined to the positive quadrant\, counted by the length and the number of northeast corners. Our analysis of the asymptotic number of sortable permutations relies at the moment on two intriguing conjectures dealing with the series Q(a\,u). We prove that these conjectures hold for closed walks confined to the upper half-plane\, or not confined at all. They remain open for quarter plane walks. Given the recent activity on walks confined to cones\, we believe them to be attractive per se. \nLa journée aura lieu le matin au bâtiment Buffon\, amphi Bertin\,\net l’après-midi au bâtiment Fermat\, amphi H.
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SUMMARY:Journée "Fonctions spéciales\, valeurs spéciales et arithmétique" (21/05/2013)
DESCRIPTION:Programme  :\n\n10h00 : accueil des participants\, café. \n10h30-12h : B. Anglès (Université de Caen)\,\nExponentielle de Carlitz et Arithmétique \nRésumé:\nNous donnerons lors de cet exposé un aperçu des résulats récents obtenus sur les valeurs spéciales des fonctions L de Goss-Pellarin. Ces séries sont des analogues en caractéristique positive des fonctions L d’Artin des corps de nombres . Nous aborderons en particulier les aspects suivants qui sont intimement liés : \n\nanalytiques : les travaux récents de Federico Pellarin et ses co-auteurs sur certaines fonctions L à plusieurs variables\,\narithmétiques : les travaux récents de Lenny Taelmann et ses co-auteurs sur les modules de classes et modules d’unités associés aux modules de Drinfeld.\n\n14h-15h : J. Roques (Université Grenoble I)\,\nApplications miroir hypergéométriques \nRésumé:\nNous ferons un tour d’horizon des propriétés d’intégralité des coefficients de Taylor en 0 des applications miroir hypergéométriques (généralisées). \n15h-15h30 : Pause café \n15h30-16h30 : M. Papanikolas (Texas A&M University et\nUniversité de Saint-Etienne)\, Power sums of polynomials and their hyperderivatives over finite fields\nExposé dans le cadre du Colloquium. \nAbstract:\nPolynomial power sums\, or rather sums of monic polynomials of fixed degree over a finite field raised to a positive integer power\, possess a wide variety of unexpected properties. For example\, Carlitz observed that they frequently vanish and provided a criterion for vanishing in terms of the p-adic digits of the power taken. Subsequent work of Carlitz\, Gekeler\, Lee\, and Thakur investigated degrees and precise formulas for polynomial power sums in the nonvanishing cases. Taken together these two types of results provide important information about Carlitz zeta values at negative integers. \nWe will discuss extensions of these results to power sums of polynomials and their hyperderivatives. Using various identities involving symmetric polynomials\, we find exact formulas (as well as vanishing criteria) for these sums. These lead to new identities for Carlitz binomial coefficients and special values of Goss L-series at positive and negative integers.
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SUMMARY:Journée "Le Frobenius quand p tend vers l’infini" (12/2/2013)
DESCRIPTION:Programme  : \n10h30 : accueil des participants\, café. \n11h-12h : J-B. Bost (Université Paris-Sud)\, Frobenius non-standard et variétés aux différences : une introduction \nRésumé : Ce premier exposé constituera une introduction à l’article de E. Hrushovski « The Elementary Theory of the Frobenius Automorphisms ». Je présenterai le résultat principal de ce travail — les estimations de Lang-Weil tordues — ainsi que leurs spectaculaires conséquences pour la théorie des modèles des corps aux différences. J’essaierai aussi d’introduire quelques rudiments de la « théorie des schémas aux différences » qui jouent un rôle central dans les applications et les preuves de ces résultats\, et de donner un aperçu de la démonstration de E. Hrushovski. \n14h-15h : M. Hils (Institut de Mathématiques de Jussieu)\, Frobenius non-standard et variétés aux différences : aspects modèle-théoriques \nRésumé : Dans l’exposé\, je traiterai de quelques ingrédients modèle-théoriques de la preuve des estimations de Lang-Weil tordues (par Hrushovski)\, résultat principal pour établir la généricité du Frobenius non-standard et ainsi déterminer la théorie du premier ordre du Frobenius quand $p$ tend vers l’infini. La théorie des modèles sert principalement dans des arguments de « déplacement »\, où on utilise des spécialisations transformelles. Je discuterai des corps valués avec endomorphisme contractant\, d’un point de vue algébrique et logique. Notamment\, on verra une notion de dimension très fine dans ce contexte\, la « dimension inertielle »\, et je parlerai des concepts modèle-théoriques clé qui sont liés à la dimension inertielle. \n15h-15h30 : Pause café \n15h30-16h30 : F. Loeser (Institut de Mathématiques de Jussieu)\, Quelques applications du théorème de Hrushovski sur le Frobenius \nRésumé : Nous présenterons quelques applications plus ou moins classiques du théorème de Hrushovski concernant les équations aux différences algébriques (Hrushovski) et la dynamique algébrique (Fakhruddin-Poonen\, Amerik). \n 
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SUMMARY:Journée "Équations différentielles et Frobenius" (13/11/2012)
DESCRIPTION:Programme :\n\n10h30 : accueil des participants\, café. \n11h00-12h30 : Charlotte Hardouin (IMT) Titre : Approche galoisienne de l’hypertranscendance discrète \nRésumé : Nous avons développé une théorie de Galois des équations différentielles linéaires\, qui permet de déterminer les relations algébriques satisfaites par les solutions d’une équation différentielle linéaire et leurs transformées sous l’action d’un opérateur aux différences $\sigma$. Par exemple\, on pourra prendre $\sigma$ l’opérateur de Frobenius dans le cadre de l’étude des équations différentielles $p$-adiques ou bien encore $\sigma$ pourra être un opérateur discret agissant sur les paramètres de l’équation différentielles à l’instar des transformations de Bäcklund pour les équations de Painlevé. Dans la première partie de cet exposé\, nous introduirons la théorie de Galois à paramètres discrets dont les groupes de Galois ont une structure de schémas en groupes aux différences définis sur un corps algébriquement clos. Dans une seconde partie\, nous montrerons comment cette théorie peut s’appliquer par exemple aux problèmes d’intégrabilité discrète\, de contiguité\, ou encore d’étude des structures de Frobenius des équations différentielles p-adiques. \n14h30-15h30 : Benjamin Schraen (LMV) Titre : Représentations p-adiques du groupe de Galois d’un corps p-adique \n15h30-16h00 : Pause café \n16h00-17h00 : Eugen Hellmann (Bonn. Paris VI) Titre : Construction of Galois representations via p-adic differential equations
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/journee-equations-differentielles-et-frobenius-13-11-2012/
LOCATION:Bâtiment Fermat\, amphi F\, 45 avenue des Etats-Unis\, Versailles\, 78000\, France
CATEGORIES:Séminaire différentiel
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