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SUMMARY:AG : Federico Pellarin (Université de Rome Sapienza) : Identités fonctionnelles pour des fonctions zêta sur les courbes
DESCRIPTION:Résumé : La fonction zêta de Riemann\, une fonction analytique complexe\, interpole le valeurs zêta aux entiers positifs supérieurs ou égaux à 2 et grâce à son équation fonctionnelle on déduit les fameuses identités découvertes par Euler en 1735. \nDans les années 1980 David Goss introduit des fonctions zêta et L qui interpolent des valeurs zêta et L dans des corps complets de caractéristique non nulle\, notamment les valeurs zêta introduites par Leonhard Carlitz en 1935. Ces travaux ont été influencés par la thèse de John Tate\, dans laquelle il est cependant fondamental de regarder les fonctions zêta comme des fonctions à valeurs complexes. \nPlus récemment des alternatives à l’approche de Goss ont émergé\, où des fonctions zêta « partielles » sont définies directement sur des courbes algébriques sur les corps finis\, et prennent leur valeurs dans des corps complets de caractéristique non nulle. \nDans la première partie de cet exposé\, après avoir brièvement présenté l’approche de Goss\, nous décrirons la mentionnée méthode d’interpolation analytique de valeurs zêta sur les courbes dans la cas particulier de la droite projective\, en montrant quelques conséquences d’identités fonctionnelles qui ressemblent à celles de la fonction zêta de Riemann. \nDans la deuxième partie nous discuterons du cas plus général d’une courbe en décrivant un lien entre les lieux d’annulation de ces fonctions zêta avec un diviseur dit « chtouka » (Drinfeld) pour ensuite formuler une identité fonctionnelle démontrée par Giacomo Hermes Ferraro en 2022.
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SUMMARY:AG : Matthew Pressland (LMNO Caen) : Un cadre général pour la théorie catégorique des amas
DESCRIPTION:La catégorification est historiquement une technique très puissante dans l’étude des algèbres amassées et des concepts liés. Typiquement\, on commence par la construction d’une catégorification explicite pour une famille d’algèbres amassées\, que l’on peut ensuite utiliser pour déduire des résultats pour cette famille. En revanche\, dans ce travail conjoint avec Jan E. Grabowski\, nous considérons plutôt une famille (assez grande !) des catégories\, qui inclut les catégorifications plus spécifiques d’algèbres amassées\, et essayons de reconstruire une théorie des amas dans cette généralité. Nous retrouvons les g-vecteurs\, c-vecteurs et F-polynômes\, et donc les variables amassées de types A et X. En particulier\, notre formule catégorique pour les variables de type X parait d’être nouvelle. De plus\, nous étudions les quantifications de ce point de vue. Une conséquence de la généralité de notre cadre est que la décatégorification d’une catégorie dans notre famille n’est pas nécessairement une algèbre amassée classique dans le sens de Fomin et Zelevinsky : on trouve aussi\, pour exemple\, des généralisations plus récentes par Chekhov et Shapiro.
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/ag-matthew-pressland-lmno-caen/
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SUMMARY:AG : Ana-Maria Castravet (LMV) : Le 14ᵉ problème de Hilbert et de la géométrie birationnelle
DESCRIPTION:Résumé : Les contre-exemples de Mukai au 14ᵉ problème de Hilbert reposent sur une observation clé\, due à Nagata : les anneaux d’invariants pour certains groupes vectoriels peuvent être identifiés aux anneaux de Cox de certains éclatements d’espaces projectifs. L’anneau de Cox d’une variété encode une grande quantité d’informations sur la géométrie birationnelle de cette variété\, et on peut utiliser de la géométrie pour répondre à des questions concernant la finitude de la génération des anneaux d’invariants de Nagata. \nJe discuterai ces questions et expliquerai quel type de problèmes sont abordés en géométrie birationnelle\, ainsi que la manière dont on peut les traiter dans le cas des variétés algébriques qui sont des espaces de modules.
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