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SUMMARY:AG :  Enrica Mazzon (Université de Regensburg) : A non-archimedean approach to the SYZ conjecture
DESCRIPTION:Given a family (X_t) of complex Calabi-Yau manifolds\, the SYZ conjecture concerns the geometric structure of the fibers X_t\, as t goes to 0 and the complex structure of X_t degenerates in the worst possible way. Kontsevich and Soibelman introduced a non-archimedean approach to this conjecture\, and more recently\, Yang Li’s work has connected the non-archimedean approach with the original SYZ conjecture. \nIn this talk\, I will explain the key concepts of the non-archimedean approach and present recent developments in the context of hypersurfaces. This is based on a project in collaboration with Jakob Hultgren\, Mattias Jonsson and Nick McCleerey.
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/ag-enrica-mazzon-universite-de-regensburg/
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SUMMARY:AG : Eduardo de Sequeira Esteves (IMPA) : Quiver representations arising from degenerations of linear series
DESCRIPTION:Abstract: We describe all the schematic limits of divisors associated to any family of linear series on any one- dimensional family of projective varieties degenerating to any connected reduced projective scheme X defined over any field\, under the assumption that the total space of the family is regular along X. More precisely\, the degenerating family gives rise to a special quiver Q\, called a Zn-quiver\, a special representation L of Q in the category of line bundles over X\, called a maximal exact linked net\, and a special subrepresentation V of the representation induced from L by taking global sections\, called a pure exact finitely generated linked net. Given g = (Q\, L\, V ) satisfying these properties\, we prove that the quiver Grassmanian G of subrepresentations of V of pure dimension 1\, called a linked projective space\, is Cohen-Macaulay\, reduced and of pure dimension. Furthermore\, we prove that there is a morphism from G to the Hilbert scheme of X whose image parameterizes all the schematic limits of divisors along the degenerating family of linear series if g arises from one. Joint work with Eduardo Vital and Renan Santos.
URL:https://lmv.math.cnrs.fr/evenenement/ag-eduardo-de-sequeira-esteves-impa/
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SUMMARY:AG : Nicolas Tholozan (ENS) : Equidistribution du lieu de Noether—Lefschetz
DESCRIPTION:Soit \(X \to B\) une famille lisse de variétés projectives complexes. Le lieu de Noether—Lefschetz de \(B\) est l’ensemble des points dont la fibre possède plus de fibrés en droite que la fibre générique. Avec Salim Tayou\, nous montrons que\, sous des hypothèses naturelles\, ce lieu est « équidistribué » (au sens des courants) pour une certaine forme caractéristique sur \(B\). \nL’énoncé est un cas particulier d’un résultat plus général de dynamique homogène: étant donné un espace localement homogène \(X\) et une suite de sous-espaces localement homogènes \(Y_n\) qui s’équidistribuent dans \(X\)\, nous décrivons la distribution de l’intersection de \(Y_n\) avec une sous-variété \(V\).
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SUMMARY:AG : Justin Trias (Imperial College London) : En direction d'une correspondance thêta en familles pour les paires de type II
DESCRIPTION:Résumé : La correspondance thêta est un outil important en théorie des formes automorphes. Elle permet de construire des exemples intéressants de tels objets\, à travers les fonctions thêta\, et ses domaines d’application touchent aussi bien des aspects algébriques que plus analytiques de la théorie des nombres. Dans sa version locale non archimédienne\, c’est-à-dire pour les corps p-adiques\, elle fournit une bijection entre deux sous-ensembles de représentations irréductibles lisses à coefficients complexes de deux groupes (H\,H’) qui forment une paire duale à l’intérieur d’un groupe symplectique. Motivé par de nouvelles perspectives autour de la correspondance de Langlands pour les représentations modulaires (i.e. sur des corps de coefficients de caractéristique positive l)\, Alberto Mínguez a prouvé que cette bijection était encore valide pour les paires de type II (i.e. pour des groupes linéaires)à condition que l ne divise pas les pro-ordres de H et H’. Les travaux récents de Emerton et Helm étendent la correspondance de Langlands locale pour les groupes linéaires aux familles de représentations\, c’est-à-dire à coefficients dans un anneau\, avec des compatibilités aux correspondances de Langlands locales classique et modulaire. Pour les anneaux de coefficients comme Z[1/p]\, j’expliquerai le premier pas pour rendre la correspondance thêta compatibles aux familles de représentations\, avec au cœur de cette démarche la théorie du centre de Bernstein. Dans ce cadre\, on obtient un morphisme entre les centres de Bernstein de H et H’ que l’on interprète par le biais de la représentation de Weil. Comme conséquence de ces constructions\, ce morphisme est fini. Il est même surjectif\, ce qui se traduit en termes de géométrie par une immersion fermée entre schémas affines correspondants. On obtient ainsi une première correspondance thêta en familles en termes d’une bijection entre caractères des centres de Bernstein. Ce travail est en collaboration avec Gil Moss.
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