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  • Algèbre Géométrie

    Mardi 16 janvier 11:30-12:30 - Dimitri Zvonkine - UVSQ

    Nombres de Hurwitz pour des polynômes réels

    Résumé : Il y a exactement n^{n-3} polynômes de degré n (convenablement normalisés) ayant n-1 valeurs critiques fixées. Pour le prouver on établit une correspondance biunivoque entre ces polynômes et les arbres à arêtes numérotées, qui sont énumérés par la formule de Cayley. Le nombre de polynômes réels de degré n (toujours convenablement normalisés) ayant n-1 valeurs critiques fixées réelles est le n-ième nombre d’Euler-Bernoulli. Pour le prouver on établit une correspondance biunivoque entre ces polynômes et les permutations alternées. Le problème ci-dessus peut être généralisé en autorisant des valeurs critiques multiples et en fixant le profil de ramification au-dessus de chaque valeur critique. Pour les polynômes complexes ce problème plus large est entièrement résolu. Pour les polynômes réels, cependant, la réponse dépend en général de l’ordre des valeurs critiques sur l’axe réel. On peut alors se poser la question s’il est possible d’attribuer un signe à chaque polynôme réel pour que le nombre de polynômes comptés avec signes soit invariant par permutations des valeurs critiques. Nous allons construire un signe avec cette propriété et étudier l’invariant ainsi obtenu. Ceci est un travail commun avec I. Itenberg.

    Lieu : Fermat 2205

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