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Habilitation à Diriger des Recherches

Quelques rapports sont consultables à la bibliothèque.

  • Lundi 17 juin 2019 - Emmenuelle Crépeau : Quelques résultats sur le contrôle, la stabilisation et les problèmes inverses pour des équations aux dérivées partielles
Résumé : Ce mémoire regroupe les différentes recherches que j’ai faites depuis ma thèse en 2005. Mes travaux se sont concentrés sur des problèmes de contrôlabilité, stabilisation et résolution de problèmes inverses pour différentes équations aux dérivées partielles. Ces trois thèmes constituent les trois parties de ce mémoire.

Le premier chapitre repose sur des problèmes de contrôlabilité exacte de différentes EDP. L’idée générale est de montrer que le problème linéarisé autour de zéro est contrôlable. Pour cela on utilise le résultat classique de dualité entre la contrôlabilité exacte du problème direct et l’observabilité du problème adjoint. L’idée étant de montrer une inégalité d’observabilité forte du problème adjoint rétrograde en temps. Pour cela on utilise différentes techniques, multiplicateurs, décomposition spectrale, inégalités de Ingham, méthode des moments.

Dans le deuxième chapitre, j’ai regroupé différents résultats de stabilisation. L’idée générale étant d’obtenir également une inégalité d’observabilité mais sur le problème direct, permettant de montrer la décroissance exponentielle de l’énergie et donc la stabilité du problème.

Enfin le dernier chapitre concerne des problèmes inverses pour les équations des ondes posées sur un arbre, puis pour l’équation de Kuramoto-Sivashinsky et enfin l’équation de KdV. Pour obtenir des résultats sur les problèmes inverses des inégalités de Carleman sont démontrées dans chaque cas.

  • Jeudi 28 mars 2019 - Mariane Pelletier : Algorithmes stochastiques et statistique non paramétrique
Résumé : La présentation de mes travaux est organisée en quatre parties.

La première partie présente plusieurs de mes résultats sur les algorithmes stochastiques. Après la vitesse de convergence en loi et diverses propriétés presque sûres des algorithmes stochastiques à pas simple et de leurs versions moyennisées, j’introduis des algorithmes compagnons de l’algorithme de Kiefer-Wolfowitz permettant d’approximer la valeur modale d’une fonction de régression. Puis, je présente l’étude de la vitesse de convergence d’algorithmes à pas double, avant de montrer que l’utilisation de tels algorithmes permet de généraliser le principe de moyennisation des algorithmes stochastiques à pas simple.

La deuxième partie regroupe la plupart de mes résultats en statistique non paramétrique. Je m’intéresse au problème de l’estimation d’une densité de probabilité, de son mode et de sa valeur modale, et d’une fonction de régression (déterministe ou non). Les estimateurs considérés sont des estimateurs à noyau, non récursifs ou semi-récursifs, et les propriétés démontrées sont des théorèmes de la limite centrale, des lois du logarithme itéré compactes, et des principes de grandes déviations et de déviations modérées. Je présente également une application statistique des déviations modérées à la construction de régions de confiance.

La troisième partie présente une méthode générale permettant d’obtenir une loi du logarithme itéré compacte, puis son application à la somme de vecteurs aléatoires indépendants et aux algorithmes stochastiques, moyennisés ou non.

La quatrième partie regroupe les résultats que j’ai obtenus à l’intersection des algorithmes stochastiques et de la statistique non paramétrique. Je présente tout d’abord des algorithmes stochastiques qui estiment simultanément le mode et la valeur modale d’une densité de probabilité, puis un algorithme stochastique à pas simple permettant l’estimation récursive d’une densité de probabilité. Puis, je montre que l’utilisation des algorithmes stochastiques à pas double permet de construire des estimateurs récursifs performants d’une fonction de régression et d’une fonction de hasard.

  • Vendredi 14 décembre 2018 - Luca de Feo : Explorations dans les graphes d’isogénies
Résumé : Motivés par les applications récentes des graphes d’isogénies en cryptographie, nous allons faire une revue des problèmes liés aux isogénies de courbes elliptiques définies sur les corps finis, et de leur calcul.

Les graphes d’isogénies se classent en deux familles : à multiplication complexe (CM) et supersinguliers. Les graphes CM jouissent d’une riche structure, liée à la théorie des ordres d’un corps quadratique imaginaire. Nous expliquons comment cette théorie donne des algorithmes pratiques pour se déplacer "verticalement" dans les graphes, en suivant le treillis des ordres quadratiques.

Cependant, "pratique" n’implique pas "simple". Afin d’implanter efficacement nos algorithmes, nous allons devoir étudier les méthodes connues pour calculer dans la clôture algébrique d’un corps fini. De façon remarquable, les isogénies vont aussi se révéler utiles pour ces algorithmes, leur calcul devenant ainsi à la fois un fin et un moyen.

Enfin, nous allons passer en revue les applications des graphes d’isogénies aux échanges de clefs cryptographiques. Les graphes CM offrent une généralisation naturelle de l’échange classique de Diffie–Hellman, un fait qui avait déjà été reconnu il y a vingt ans, et qui a été récemment remis au goût du jour. La structure des graphes supersinguliers, d’un autre côté, est reliée aux ordres maximaux d’une algèbre de quaternions, et est plus compliquée à manier algorithmiquement ; seulement récemment ces graphes ont été proposés comme une base pour la cryptographie.

Dans les deux cas, la sécurité des protocoles cryptographiques est basée sur la difficulté de se déplacer "horizontalement" dans les graphes d’isogénies. Nous allons donc conclure notre étude avec une revue des algorithmes, à la fois classiques et quantiques, pour résoudre ces problèmes.

  • Vendredi 25 novembre 2016 - Maria Chlouveraki : Algèbres de Hecke, généralisations et théorie des représentations
Résumé : Les algèbres de Iwahori–Hecke associées aux groupes de Weyl apparaissent naturellement dans l’étude des groupes réductifs finis comme des algèbres d’endomorphismes de la représentation de permutation par rapport à un sous-groupe de Borel. Elles peuvent aussi être définies indépendamment comme déformations des algèbres de groupe des groupes de Coxeter finis. L’objectif de ce mémoire est d’étudier certains aspects de la théorie des représentations des algèbres de Iwahori–Hecke et la façon dont elles se généralisent dans le cas des :
  • algèbres de Hecke cyclotomiques, qui sont obtenues comme déformations des algèbres de groupe des groupes de réflexions complexes,
  • algèbres de Ariki–Koike, qui sont obtenues comme généralisations des algèbres de Iwahori–Hecke de types A et B,
  • algèbres de Yokonuma–Hecke, qui sont obtenues lors de l’étude des groupes réductifs finis comme des algèbres d’endomorphismes de la représentation de permutation par rapport à un sous-groupe unipotent maximal.

Au cours de ce mémoire, nous allons aussi étudier une autre famille d’algèbres associées aux groupes de réflexions complexes, les algèbres de Cherednik rationnelles, dont la théorie des représentations a beaucoup de liens avec la théorie des représentations des algèbres de Hecke. Les aspects de la théorie des représentations de ces algèbres sur lesquelles nous allons nous concentrer seront la paramétrisation et description des représentations irréductibles dans les cas semisimple et non-semisimple, les blocs, la structure d’algèbre symétrique et la détermination de la matrice de décomposition associée à une spécialisation.

  • Lundi 6 juin 2016 - Olivier Piltant : Contributions à l’étude des singularités des schémas de dimension deux et trois en caractéristique résiduelle positive
Résumé : Cet exposé présentera mes travaux de recherche consacrés aux singularités des variétés de dimension deux et trois, arithmétiques ou algébriques de caractéristique positive, et à leur désingularisation. Le problème de Résolution des Singularités tel qu’il a été formulé par A. Grothendieck (1965) est au centre de ces travaux. Il conjecture l’existence d’une modification Y -régulière en tout point- d’une variété X donnée, par un morphisme propre et birationnel. Ceci signifie que Y est presque partout isomorphe à X (birationnel) et que « Y est maximale pour cette propriété » (propre). Je l’ai étudié dans le sillage de Zariski et Abhyankar (valuations, idéaux complets) et de Hironaka (éclatements permis). Mes contributions concernent la ramification des morphismes de surfaces algébriques, les pinceaux de courbes à l’infini dans le plan, et l’existence d’une résolution des singularités en dimension trois.
  • Vendredi 4 décembre 2015 - Vahagn Nersesyan : Quelques problèmes mathématiques en hydrodynamique et physique quantique - HAL
Résumé : Ce mémoire est composé de deux chapitres relativement indépendants.

Le chapitre 1 est consacré à l’étude de quelques problèmes mathématiques issus de la théorie de la turbulence en hydrodynamique. Nos résultats portent principalement sur des questions liées au principe de grandes déviations (PGD), relation de Gallavotti–Cohen et ergodicité (existence et unicité d’une mesure stationnaire et ses propriétés de mélange) pour une classe d’EDP perturbées par une force aléatoire. Nous établissons un PGD pour des EDP paraboliques, comme les équations de Navier–Stokes ou de Ginzburg–Landau complexe, perturbées par une force aléatoire discrète en temps. Nous étendons ce résultat au cas de l’équation d’onde non linéaire amortie soumise à une force aléatoire de type bruit blanc en temps et lisse par rapport à la variable spatiale, en prouvant un PGD local. Nous obtenons une relation de type Gallavotti–Cohen pour la fonction de taux d’une fonctionnelle de production d’entropie pour des EDP avec une dissipation non linéaire forte, comme l’équation de Burgers. Enfin, nous prouvons une propriété de mélange pour l’équation complexe de Ginzburg–Landau avec un bruit blanc dans un espace de dimension quelconque.

Dans le chapitre 2, nous considérons d’abord le problème de la contrôlabilité d’une particule quantique par l’amplitude d’un champ électrique. L’état de la particule est décrit par une fonction d’onde qui obéit à l’équation de Schrödinger bilinéaire. En utilisant des méthodes variationnelles, nous obtenons des résultats de contrôlabilité approchée, stabilisation et contrôlabilité simultanée. La deuxième partie de ce chapitre aborde le problème de la contrôlabilité lagrangienne de l’équation de Navier–Stokes 3D par une force de dimension finie. Nous donnons des exemples d’espaces qui assurent la contrôlabilité approchée du système.

  • Lundi 2 février 2015 - Philippe Cieutat : Contribution aux oscillations presque-périodiques d’équations d’évolution.
Résumé : Ce mémoire est consacré à l’étude des solutions presque-périodiques d’équations différentielles ordinaires, d’équations aux dérivées partielles ou d’équations intégrales non autonomes. La première partie porte sur l’étude des opérateurs de superposition entre divers espaces de fonctions presque-périodiques, puis sur l’application de ces résultats pour obtenir des conditions d’existence, de dépendance continue ou différentiable des solutions presque-périodiques d’équations d’évolution dépendant d’un paramètre. La deuxième partie est consacrée à la description des solutions bornées ou presque-périodiques, et sur des résultats d’existence de solutions presque-périodiques d’équations différentielles ordinaires non linéaires (équations d’Euler-Lagrange et des équations du second ordre, notamment des équations de Liénard). Les résultats de la troisième partie sont essentiellement des conditions suffisantes pour l’existence de solutions presque-automorphes ou pseudo presque-automorphes. Pour les solutions presque-automorphes, la principale condition suffisante est l’existence et l’unicité d’une solution à valeurs dans un compact qui minimise une fonctionnelle. Enfin, la quatrième partie est consacrée à l’existence de solutions positives et presque-périodiques d’équations intégrales ou différentielles avec un retard issue de modèles épidémiologiques.
  • Vendredi 11 juin 2010 - Thierry Horsin - Soutenance HDR : Quelques problèmes de contrôlabilité - HAL
  • 6 décembre 2007 - Tahar Boulmezaoud - Contribution à l’étude de certains problèmes en domaines non-bornés et aux équations de la magnétohydrostatique et de la magnétohydrodynamique
  • 28 novembre 2006 - Nicolas Pouyanne - Quelques contributions au carrefour de la géométrie, de la combinatoire et des probabilités - HAL
  • 24 novembre 2006 - Yves Capdeboscq - Quelques résultats sur des problèmes d’homogénéisation et sur des problèmes inverses
  • Mardi 14 décembre 2004 - Jean-François Marckert - Structures arborescentes, algorithmes et théorèmes limites
  • 5 avril 2002 - Mohamed Ali Jendoubi - Comportement asymptotique des solutions bornées de quelques problèmes d’évolution non linéaires
  • 12 décembre 2001 - Stéphane Mischler - Contributions à l’étude mathématique de quelques modèles issus de la physique statistique hors équilibre.

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